抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,对称轴为直线x=1,已知:A(-1,0),C(0,-3)。(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式
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抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,对称轴为直线x=1,已知:A(-1,0),C(0,-3)。(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式
题型:湖南省中考真题
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抛物线y=ax
2
+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,对称轴为直线x=1,已知:A(-1,0),C(0,-3)。
(1)求抛物线y=ax
2
+bx+c的解析式;
(2)求△AOC和△BOC的面积的比;
(3)在对称轴是否存在一个点P,使△PAC的周长最小,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)∵A,B两点关于x=1对称,
∴B点坐标为(3,0),
根据题意得:
,
解得a=1,b=-2,c=-3,
∴抛物线的解析式为y=x
2
-2x-3;
(2)△AOC和△BOC的面积分别为
,
而|OA|=1,|OB|=3,
∴S
△AOC
:S
△BOC
=|OA|:|OB|=1:3;
(3)存在一个点P,
C点关于x=1对称点坐标C"为(2,-3),
令直线AC"的解析式为y=kx+b
∴
,
∴k=-1,b=-1,
即AC"的解析式为y=-x-1,
为x=1时,y=-2,
∴P点坐标为(1,-2)。
举一反三
如图1,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=4
,将矩形沿对角线AC剪开,解答以下问题:
(1)在△ACD绕点C顺时针旋转60°,△A
1
CD
1
是旋转后的新位置(图2),求此AA
1
的距离;
(2)将△ACD沿对角线AC向下翻折(点A、点C位置不动,△ACD和△ABC落在同一平面内),△ACD
2
是翻折后的新位置(图3),求此时BD
2
的距离;
(3)将△ACD沿CB向左平移,设平移的距离为x(0≤x≤4
), △A
2
C
1
D
3
是平移后的新位置(图3),若△ABC与△A
2
C
1
D
3
重叠部分的面积为Y,求Y关于X的函数关系式。
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如图,二次函数y=ax
2
的图象与一次函数y=x+b的图象相交于A(-2,2)、B两点,从点A和点B分别引平行于y轴的直线与x轴分别交于C,D两点,点P(t,0)为线段CD上的动点,过点P且平行于y轴的直线与抛物线和直线分别交于R,S。
(1)求一次函数和二次函数的解析式,并求出点B的坐标;
(2)当SR=2RP时,计算线段SR的长;
(3)若线段BD上有一动点Q且其纵坐标为t+3,问是否存在t的值,使S
△BRQ
=15,若存在,求t的值;若不存在,说明理由。
题型:辽宁省中考真题
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已知平面直角坐标系中,A、B、C三点的坐标分别是(0,2)、(0,-2),(4,-2)。
(1)请在给出的直角坐标系XOY中(下图),画出△ABC,设AC交X轴于点D,连结BD,证明:OD平分∠ADB;
(2)请在X轴上找出点E,使四边形AOCE为平行四边形,写出E点坐标,并证明四边形AOCE是平行四边形;
(3)设经过点B,且以CE所在直线为对称轴的抛物线的顶点为F,求直线FA的解析式。
题型:湖南省中考真题
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已知抛物线y=ax
2
+bx+c经过P(
,3),E(
,0)及原点O(0,0)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上,任取一点Q,过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点,交直线PC于B点,直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC(如图),是否存在点Q,使得△OPC与△PQB相似?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如果符合(2)中的Q点在x轴的上方,连接OQ,矩形OABC内的四个三角形△OPC,△PQB,△OQP,△OQA之间存在怎样的关系,为什么?
题型:辽宁省中考真题
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如图①,在边长为8
cm正方形ABCD中,E,F是对角线AC上的两个动点,它们分别从点A,点C同时出发,沿对角线以1cm/s同速度运动,过E作EH垂直AC交的直角边于H;过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G,连接HG,EB。设HE,EF,FG,GH围成的图形面积为S
1
,AE,EB,BA围成的图形面积为S
2
(这里规定:线段的面积为0),E到达C,F到达A停止,若E的运动时间为xs,解答下列问题:
(1)当0<x<8时,直接写出以E,F,G,H为顶点的四边形是什么四边形,并求x为何值时,S
1
=S
2
;
(2)①若y是S
1
与S
2
的和,求y与x之间的函数关系式。(图②为备用图)
②求y的最大值。
题型:吉林省中考真题
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