解:(1)画图如右
∵OA=2=OB,OD⊥AB,即OD垂直平分AB,
∴DA=DB,
从而OD平分∠ADB;
(2)过点C作CE⊥x轴,E为垂足,则E(4,0),
使四边形AOCE为平行四边形,理由如下:
∵AO=2=CE,又AO⊥x轴,CE⊥x轴AO∥CE,
∴四边形AOCE是平行四边形;
(3)设过A(0,2),C(4,-2)的解析式为y=k1x+b1,
则
∴直线AC的解析式为y=-x+2,
令y=0,得x=2,
故D的坐标为(2,0),
由于抛物线关于CE对称,故D关于CE的对称点D′(6,0)也在抛物线上,
所以抛物线过B(0,-2),D(2,0),D′(6,0),
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
则有,
∴抛物线解析式为y=,
其顶点为F,
设经过F,A(0,2)的解析式为y=k2x+b2,
则,
∴直线FA的解析式为y=-x+2。