解:(1)∵平移y=-tx2的图象得到的抛物线F的顶点为Q, ∴抛物线F对应的解析式为:y=-t(x-t)2+b, ∵抛物线与x轴有两个交点,∴tb>0,令y=0,得OB=,OC=, ∴|OB|·|OC|=,即, 所以当b=2t3时,存在抛物线F使得|OA|2=|OB|·|OC|; (2)∵AQ∥BC, ∴t=b,得F:y=-t(x-t)2+t, 解得x1=t-1,x2=t+1, 在Rt△AOB中,①当t>0时,由|OB|<|OC|,得B(t-1,0), 当t-1>0时,由tan∠ABO=,解得t=3, 此时,二次函数解析式为y=-3x2+18x-24; 当t-1<0时,由tan∠ABO=,解得t=, 此时,二次函数解析式为; ②当t<0时,由|OB|<|OC|,将-t代t,可得t=-,t=-3, 所以二次函数的解析式为或。 |