已知圆P的圆心在反比例函数图象上，并与x轴相交于A、B两点，且始终与y轴相切于定点C（0，1）。（1）求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式；（2）若二次函

题型：安徽省中考真题难度：来源：

已知圆P的圆心在反比例函数图象上，并与x轴相交于A、B两点，且始终与y轴相切于定点C（0，1）。
（1）求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式；
（2）若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形。

图1                                                   图2

答案

解：（1）连结PC、PA、PB，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，
∵⊙P与y轴相切于点C（0，1），
∴PC⊥y轴，
∵P点在反比例函数的图象上，
∴P点坐标为（k，1），
∴PA=PC=k．在Rt△APH中，AH=，
∴OA=OH-AH=k-，
∴A（k-，0），
∵由⊙P交x轴于A、B两点，且PH⊥AB，由垂径定理可知，PH垂直平分AB，
∴OB=OA+2AH=k-+2=k+，
∴B（k+，0），
故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x=k，
可设该抛物线解析式为y=a+h，
又抛物线过C（0，1），B（k+，0），
得：
解得a=1，h=1-，
∴抛物线解析式为y=，
（2）由（1）知抛物线顶点D坐标为（k，1-）
∴DH=-1，
若四边形ADBP为菱形，则必有PH=DH，
∵PH=1，
∴-1=1，
又∵k＞1，
∴k=，
∴当k取时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形。

图1

图2