一条抛物线y=x2+mx+n经过点(0,3)与(4,3)。
(1)求这条抛物线的解析式,并写出它的顶点坐标;
(2)现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动的动圆,当⊙P与坐标轴相切时,求圆心P的坐标;
(3)⊙P能与两坐标轴都相切吗?如果不能,试通过上下平移抛物线y=x2+mx+n,使⊙P与两坐标轴都相切。(要说明平移方法)
解:(1)∵抛物线过(0,3)(4,3)两点,
∴,
解得,
∴抛物线的解析式是y=x2-4x+3,顶点坐标为(2,-1);
(2)设点P的坐标为(x0,y0),
当⊙P与y轴相切时,有|x0|=1,
∴x0=±1,
由x0=1,得y0=12-4+3=0;
由x0=-1,得y0=(-1)2-4(-1)+3=8,
此时,点P的坐标为P1(1,0),P2(-1,8),
当⊙P与x轴相切时,有|y0|=1,
∴y0=±1,
由y0=1,得x02-4x0+3=1,解得x0=2±;
由y0=-1,得x02-4x0+3=-1,解得x0=2,
此时,点P的坐标为P3(2-,1),P4(2+,1),P5(2,-1),
综上所述,圆心P的坐标为:P1(1,0),P2(-1,8),P3(2-,1),P4(2+,1),P5(2,-1);
(3)由(2)知,不能,
设抛物线y=x2-4x+3上下平移后的解析式为y=(x-2)2-1+h,
若⊙P能与两坐标轴都相切,则|x0|=|y0|=1,
即x0=y0=1;或x0=y0=-1;或x0=1,y0=-1;或x0=-1,y0=1,
取x0=y0=1,代入y=(x-2)2-1+h,得h=1,
∴ 只需将向上平移1个单位,就可使与两坐标轴都相切。
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