如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是2，O为坐标原点，点A在x的正半轴上，点C在y的正半轴上，一条抛物线经过A点，顶点D是OC的中点。（1）求抛物线

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是2，O为坐标原点，点A在x的正半轴上，点C在y的正半轴上，一条抛物线经过A点，顶点D是OC的中点。
（1）求抛物线的表达式；
（2）正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点，线段FG过点E与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于F，G点，试比较线段OE与EG的长度；
（3）点H是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段IJ过点H与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于I、J点，点K在y轴的正半轴上，且OK=OH，请证明△OHI≌△JKC。

答案

解：（1）由题意，设抛物线的解析式为：，
将点D的坐标（0，1），点A的坐标（2，0）代入，得 a=，b=1，
所求抛物线的解析式为；
（2）由于点E在正方形的对角线OB上，又在抛物线上，设点E的坐标为（m，m）（），则，
解得（舍去），
所以OE=，
所以，
所以OE=EG；
（3）设点H的坐标为（p，q）（），
由于点H在抛物线上，
所以，即，
因为，
所以OH=2-q，
所以OK=OH=2-q，
所以CK=2-（2-q）=q=IH，
因为CJ=OI，∠OIH=∠JCK=90°，
所以△OHI≌△JKC。