在直角坐标系xoy中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于两点A、B,与y轴交于点C,其中A在B的左侧,B的坐标是(3,0),将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位

在直角坐标系xoy中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于两点A、B,与y轴交于点C,其中A在B的左侧,B的坐标是(3,0),将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位

题型:湖南省中考真题难度:来源:
在直角坐标系xoy中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于两点A、B,与y轴交于点C,其中A在B的左侧,B的坐标是(3,0),将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C。
(1)求k的值;
(2)求直线BC和抛物线的解析式;
(3)求△ABC的面积;
(4)设抛物线顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标。

答案
解:(1)直线y=kx沿y轴向上平移3个单位后,过两点B,C,
从而可设直线BC的方程为y=kx+3
令x=0,得C(0,3),
又B(3,0)在直线上,
∴0=3k+3
∴k=-1;
(2)由(1),直线BC的方程为y=-x+3,
又抛物线过点B,C,

∴抛物线方程为
(3)由(2),令

即A(1,0),B(3,0),而C(0,3),
∴△ABC的面积S△ABC=(3-1)·3=3平方单位;
(4)由(2),D(2,-1),设对称轴与x轴交于点F,与BC交于E,可得E(2,1),连结AE,

∴AE⊥CE,且AE=,CE=
(或先作垂线AE⊥BC,再计算也可)
在Rt△AFP与Rt△AEC中,
∵∠ACE=∠APE(已知)



∴点P的坐标为(2,2)或(2,-2)。(x轴上、下方各一个)
举一反三
阅读材料:如图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”,我们可得出一种计算三角形面积的新方法:,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
解答下列问题:
如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B。
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及
(3)是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由。
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如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(-1,0)、(0,-),点B在x轴上,已知某二次函数的图象经过A、B、C三点,且它的对称轴为直线x=1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B、C不重合),过点P作y轴的平行线交BC于点F。
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若设点P的横坐标为m,用含m的代数式表示线段PF的长;
(3)求△PBC面积的最大值,并求此时点P的坐标。

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如图,已知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,点A、C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D。
(1)求点A的坐标(用m表示);
(2)求抛物线的解析式;
(3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连接PQ并延长交BC于点E,连接BQ并延长交AC于点F,试证明:FC(AC+EC)为定值。
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在平面直角坐标系中,已知A(-4,0),B(1,0),且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0,2),过点C作圆的切线交x轴于点D。

(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E,F两点,问:是否存在以线段EF为直径的圆,恰好与x轴相切?若存在,求出该圆的半径,若不存在,请说明理由?
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如图①,在梯形ABCD中,CD∥AB,∠ABC=90°,∠DAB=60°,AD=2,CD=4,另有一直角三角形EFG,∠EFG=90°,点G与点D重合,点E与点A重合,点F在AB上,让△EFG的边EF在AB上,点G在DC上,以每秒1个单位的速度沿着AB方向向右运动,如图②,点F与点B重合时停止运动,设运动时间为t秒。
(1)在上述运动过程中,请分别写出当四边形FBCG为正方形和四边形AEGD为平行四边形时对应时刻t的值或范围;
(2)以点A为原点,以AB所在直线为x轴,过点A垂直于AB的直线为y轴,建立如图③所示的坐标系,求过A,D,C三点的抛物线的解析式;
(3)探究:延长EG交(2)中的抛物线于点Q,是否存在这样的时刻t使得△ABQ的面积与梯形ABCD的面积相等?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。
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