如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=｜CF-EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=｜CF-EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO。
（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；
（2）令，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若CO=1，CE=，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx²+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；
（4）在（3）的条件下，若抛物线y=mx²+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标？若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）EO＞EC，
理由如下：由折叠知，EO=EF，
在Rt△EFC中，EF为斜边，
∴EF＞EC，
故EO＞EC；
（2）m为定值，
∵S_{四边形CFGH}=CF²=EF²-EC²=EO²-EC²=（EO+EC）（EO―EC）=CO·（EO-EC）
S_{四边形CMNO}=CM·CO=|CE-EO|·CO=（EO-EC）·CO
∴；
（3）∵CO=1，
∴EF=EO=
∴cos∠FEC=
∴∠FEC=60°，
∴
∴△EFQ为等边三角形，
作QI⊥EO于I，EI=，IQ=
∴IO=
∴Q点坐标为 
∵抛物线y=mx²+bx+c过点C（0，1），Q，m=1
∴可求得，c=1
∴抛物线解析式为；
（4）由（3），
当时，＜AB
∴P点坐标为，
∴BP=AO
若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：
①时，
∴K点坐标为或
②时，
∴K点坐标为或
故直线KP与y轴交点T的坐标为。