在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（-3，0），若将经过A、C两点的直线

题型：四川省中考真题难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（-3，0），若将经过A、C两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x=-2。
（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段AC上一点，设△ABP、△BPC的面积分别为S_△ABP、S_△BPC，且S_△ABP：S_△BPC=2：3，求点P的坐标；
（3）设⊙Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由，并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切。

答案

解：（1）∵沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，
∴b=3，C（0，3），
将A代入，得，解得k=1，
∴直线AC的函数表达式为，
∵抛物线的对称轴是直线
∴解得
∴抛物线的函数表达式为；
（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D，
∵，
∴
∴，
过点P作PE⊥x轴于点E，
∵PE∥CO，
∴△APE∽△ACO，
∴，
∴
∴，
解得
∴点P的坐标为；
（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况，
设点Q的坐标为，
①当⊙Q与y轴相切时，有，即，
当时，得，
∴
当时，得，
∴
②当⊙Q与x轴相切时，有，即
当时，得，即，解得，
∴
当时，得，即，解得，
∴，，
综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为，，，，，
（Ⅱ）设点Q的坐标为，
当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有，
由，得，即，
∵△=
∴此方程无解，
由，得，即，解得
∴当⊙Q的半径时，⊙Q与两坐标轴同时相切。