如图(1)所示,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,若tan∠OAC=2。(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;(

如图(1)所示,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,若tan∠OAC=2。(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;(

题型:四川省中考真题难度:来源:
如图(1)所示,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,若tan∠OAC=2。
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使∠APC=90°,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图(2)所示,连接BC,M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点,过点M作直线l′∥l,交抛物线于点N,连接CN、BN,设点M的横坐标为t.当t为何值时,△BCN的面积最大?最大面积为多少?


图1                                                           图2

答案
解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点C(0,2),
∴x=2
又∵tan∠OAC==2,
∴OA=1,即A(1,0),
又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上,
∴0=12+b×1+2,b=-3
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2; (2)存在,
过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,
∴x=-
∴AE=OE-OA=-1=
∵∠APC=90°,
∴tan∠PAE= tan∠CPD


解得PE=或PE=
∴点P的坐标为()或()。(备注:可以用勾股定理或相似解答) (3)如图,易得直线BC的解析式为:y=-x+2,
∵点M是直线l′和线段BC的交点,
∴M点的坐标为(t,-t+2)(0<t<2)
∴MN=-t+2-(t2-3t+2)=-t2+2t
∴S△BCM=S△MNC+S△MNB=MN·t+MN·(2-t)=MN·(t+2-t)=MN=-t2+2t(0<t<2),
∴S△BCN=-t2+2t=-(t-1)2+1
∴当t=1时,S△BCN的最大值为1。
举一反三
已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),顶点C(1,-4),与x轴交于A、B两点,A(-1,0)。
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线的对称轴交于E,依次连接A、D、B、E,点Q为AB上一个动点(Q与A、B两点不重合),过点Q作QF⊥AE于F,QG⊥DB于G,请判断是否为定值,若是,请求出此定值,若不是,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若点H是线段EQ上一点,过点H作MN⊥EQ,MN分别与边AE、BE相交于M、N(M与A、E不重合,N与E、B不重合),请判断是否成立,若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由。
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二次函数的图像如图所示,请将此图像向右平移1个单位,再向下平移2个单位。

(1)画出经过两次平移后所得到的图像,并写出函数的解析式。
(2)求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标,指出当x满足什么条件时,函数值大于0?
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如图①,梯形ABCD中,∠C=90°,动点E、F同时从点B出发,点E沿折线BA-AD-DC运动到点C时停止运动,点F沿BC运动到点C时停止运动,它们运动时的速度都是1cm/s,设E、F出发ts时,△EBF的面积为ycm2,已知y与t的函数图象如图②所示,其中曲线OM为抛物线的一部分,MN、NP为线段,请根据图中的信息,解答下列问题:
(1)梯形上底的长AD=_____cm,梯形ABCD的面积_____cm2
(2)当点E在BA、DC上运动时,分别求出y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围);
(3)当t为何值时,△EBF与梯形ABCD的面积之比为1:2。
题型:江苏中考真题难度:| 查看答案
在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y。
(1)求线段AD的长;
(2)若EF⊥AB,当点E在线段AB上移动时,
①求y与x的函数关系式(写出自变量x的取值范围);
②当x取何值时,y有最大值?并求其最大值;
(3)若F在直角边AC上(点F与A、C两点均不重合),点E在斜边AB上移动,试问:是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分?若存在直线EF,求出x的值;若不存在直线EF,请说明理由。
题型:江苏省中考真题难度:| 查看答案
如图1,某灌溉设备的喷头B高出地面1.25m,喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的距离为1m处达到距地面最大高度2.25m,试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式。学生小龙在解答图1所示的问题时,具体解答如下:
①以水流的最高点为原点,过原点的水平线为横轴,过原点的铅垂线为纵轴,建立如图2所示的平面直角坐标系;
②设抛物线水流对应的二次函数关系式为y=ax2
③根据题意可得B点与x轴的距离为1m,故B点的坐标为(-1,1);
④代入y=ax2得-1=a·1,所以a=-1;
⑤所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y=-x2。数学老师看了小龙的解题过程说:“小龙的解答是错误的”。

(1)请指出小龙的解答从第_______步开始出现错误,错误的原因是什么?
(2)请你写出完整的正确解答过程。
题型:新疆自治区中考真题难度:| 查看答案
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