已知f(x)=2ax-bx+lnx在x=-1,x=12处取得极值.(1)求a、b的值;(2)若对x∈[14,4]时,f(x)>c恒成立,求c的取值范围.
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已知f(x)=2ax-bx+lnx在x=-1,x=12处取得极值.(1)求a、b的值;(2)若对x∈[14,4]时,f(x)>c恒成立,求c的取值范围.
题型:不详
难度:
来源:
已知f(x)=2ax-
b
x
+lnx在x=-1,x=
1
2
处取得极值.
(1)求a、b的值;
(2)若对x∈[
1
4
,4]时,f(x)>c恒成立,求c的取值范围.
答案
(1)∵f(x)=2ax-
b
x
+lnx,
∴f′(x)=2a+
b
x
2
+
1
x
.
∵f(x)在x=-1与x=
1
2
处取得极值,
∴f′(-1)=0,f′(
1
2
)=0,
即
2a+b-1=0
2a+4b+2=0.
解得
a=1
b=-1.
∴所求a、b的值分别为1、-1.
(2)由(1)得f′(x)=2-
1
x
2
+
1
x
=
1
x
2
(2x
2
+x-1)=
1
x
2
(2x-1)(x+1).
∴当x∈[
1
4
,
1
2
]时,f′(x)<0;
当x∈[
1
2
,4]时,f′(x)>0.
∴f(
1
2
)是f(x)在[
1
4
,4]上的极小值.又∵只有一个极小值,
∴f(x)
min
=f(
1
2
)=3-ln2.
∵f(x)>c恒成立,∴c<f(x)
min
=3-ln2.
∴c的取值范围为c<3-ln2.
举一反三
若直线l经过原点且与曲线y=x
3
-3x
2
+2x相切,则直线l的方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知曲线C:y=x
3
+2和点P(1,3),则过点P且与曲线C相切的直线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
2
+c的图象经过点A(1,2).
( I)求c的值;
( II)求f(x)在A点处的切线方程.
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)=2-3e
x
的图象与x轴相交于点P,求曲线在点P处的切线的方程,并说明你的解答中的主要步骤(三步).
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
a
3
x
3
-
a+1
2
x
2
+x+b,其中a,b∈R
.
(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式;
(2)当a>0且a≠0时,讨论函数f(x)的单调性;
(3)当a=3时,若方程f(x)=0有三个根,求b的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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