已知函数f(x)=a3x3-a+12x2+x+b,其中a,b∈R.(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析

已知函数f(x)=a3x3-a+12x2+x+b,其中a,b∈R.(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
a
3
x3-
a+1
2
x2+x+b,其中a,b∈R

(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式;
(2)当a>0且a≠0时,讨论函数f(x)的单调性;
(3)当a=3时,若方程f(x)=0有三个根,求b的取值范围.
答案
(1)求导函数得f′(x)=ax2-(a+1)x+1
∵若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4
∴f′(2)=4a-2(a+1)+1=5
∴2a=6,∴a=3
∵点P(2,f(2))在切线方程y=5x-4上
∴f(2)=5×2-4=6,∴2+b=6,∴b=4
∴函数f(x)的解析式为f(x)=x3-2x2+x+4;
(2)f′(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-
1
a
)(x-1)

①当0<a<1,即
1
a
>1
时,函数f(x)在区间(-∞,1)及(
1
a
,+∞)上为增函数;在区间(1,
1
a
)上为减函数;
②当a>1,即
1
a
<1
时,函数f(x)在区间(-∞,
1
a
)及(1,+∞)上为增函数;在区间(
1
a
,1)上为减函数;
(3)由(2)得,函数f(x)在区间(-∞,
1
3
)及(1,+∞)上为增函数;在区间(
1
3
,1)上为减函数;
f(x)极大值=f(
1
3
)=
4
27
+b
,f(x)极小值=f(1)=b
∵方程f(x)=0有三个根,
f(x)极大值=f(
1
3
)=
4
27
+b>0
,f(x)极小值=f(1)=b<0
-
4
27
<b<0

∴b的取值范围为(-
4
27
,0)
举一反三
已知函数f (x)=(x2-1)3+1,求f (x)的极值.
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曲线y=lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是 ______,切线的方程为 ______.
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lim
△x→0
f(x0+3△x) -f(x0)
△x
=1,则f′(x0)等于______.
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设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R
(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;并求该曲线在x=1处的切线方程.
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根,求实数a的取值范围.
(Ⅲ)已知当x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围.
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求过原点与曲线y=x(x-1)(x-2)相切的直线方程.
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