设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;并求该曲线在x=1处的切线方程.(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根,求实数a
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设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R (Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;并求该曲线在x=1处的切线方程. (Ⅱ)若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根,求实数a的取值范围. (Ⅲ)已知当x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围. |
答案
(Ⅰ)对函数f(x)=x3-6x+5求导,得函数f′(x)=3x2-6 令f′(x)>0,即3x2-6>0,解得x>,或x<- f′(x)<0,即3x2-6<0,解得-<x< f′(x)=0,即3x2-6=0,解得x=,或=<- f(-)=5+4,f()=5-4 ∴f(x)的单调递增区间是(-∞,-)及(,+∞),单调递减区间是(-,) 当x=-,f(x)有极大值5+4;当x=,f(x)有极小值5-4 又∵f′(1)=-3,f(1)=0 ∴曲线在x=1处的切线方程为y=-3x+3 (Ⅱ)当5-4<a<5+4时,直线y=a与y=f(x)的图象有3个不同交点,此时方程f(x)=a有3个不同实根. ∴实数a的取值范围为(5-4,5+4) (Ⅲ)x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,也就是k≤恒成立, 令g(x)=,则g(x)==x2+x-5, ∴g(x)的最小值为-3,∴k≤-3 |
举一反三
求过原点与曲线y=x(x-1)(x-2)相切的直线方程. |
已知函数f(x)=(x2-3)ex,求f(x)的单调区间和极值. |
曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x,则点P0的坐标为______. |
设函数f(x)=ax+2,g(x)=a2x2-lnx+2,其中a∈R,x>0. (Ⅰ)若a=2,求曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程; (Ⅱ)是否存在负数a,使f(x)≤g(x)对一切正数x都成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由. |
已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c的图象为曲线C. (1)若曲线C上存在点P,使曲线C在P点处的切线与x轴平行,求a,b的关系; (2)若函数f(x)可以在x=-1和x=3时取得极值,求此时a,b的值; (3)在满足(2)的条件下,f(x)<2c在x∈[-2,6]恒成立,求c的取值范围. |
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