已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c的图象为曲线C.(1)若曲线C上存在点P,使曲线C在P点处的切线与x轴平行,求a,b的关系;(2)若函数f(x)可以在x
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c的图象为曲线C. (1)若曲线C上存在点P,使曲线C在P点处的切线与x轴平行,求a,b的关系; (2)若函数f(x)可以在x=-1和x=3时取得极值,求此时a,b的值; (3)在满足(2)的条件下,f(x)<2c在x∈[-2,6]恒成立,求c的取值范围. |
答案
(1)f"(x)=3x2-2ax+b,设切点为P(x0,y0), 则曲线y=f(x)在点P的切线的斜率k=f"(x0)=3x02-2ax0+b 由题意知f"(x0)=3x02-2ax0+b=0有解, ∴△=4a2-12b≥0,即a2≥3b. (2)若函数f(x)可以在x=-1和x=3处取得极值, 则f"(x)=3x2-2ax+b有两个解x=-1和x=3,且满足a2≥3b, 利用韦达定理得a=3,b=-9. (3)由(2)得f(x)=x3-3x2-9x+c根据题意,c>x3-3x2-9x(x∈[-2,6])恒成立, 令函数g(x)=x3-3x2-9x(x∈[-2,6]),由g′(x)=3x2-6x-9,令g′(x)=0得出x=-1或3, 当x∈[-2,-1)时,g′(x)>0,g(x)在x∈[-2,-1)上单调递增, 当x∈(-1,3)时,g′(x)<0,g(x)在x∈(-1,3)上单调递减, 当x∈(3,6),g′(x)>0,g(x)在x∈(3,6)上单调递增, 因此,g(x)在x=-1时有极大值5,且g(6)=54,g(-2)=-2. ∴函数g(x)=x3-3x2-9x(x∈[-2,6])的最大值为54,所以c>54. |
举一反三
已知函数f(x)=x2+cosx,则f(x)取得极值时的x值为______. |
函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=ex-e,则f′(1)=______. |
设f(x)的导函数是f′(x0),若f′(x0)=1,则=______. |
已知f(x)=(x2+1)(x+a) (1)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于1,求a的取值范围. (2)若y=f(x)在x∈(0,+∞)上有极值点,求a的取值范围. |
在曲线y=x2过哪一点的切线, (1)平行于直线y=4x-5 (2)垂直于直线2x-6y+5=0. |
最新试题
热门考点