如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C作⊙O的切线CM.(1)求证:∠ACM=∠ABC;(2)延长BC到D,使BC = CD,连接AD与CM交于点E,若⊙
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如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C作⊙O的切线CM.(1)求证:∠ACM=∠ABC;(2)延长BC到D,使BC = CD,连接AD与CM交于点E,若⊙
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如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C作⊙O的切线CM.
(1)求证:∠ACM=∠ABC;
(2)延长BC到D,使BC = CD,连接AD与CM交于点E,若⊙O的半径为3,ED = 2,求∆ACE的外接圆的半径.
答案
(1)证明见解析;(2)
.
解析
试题分析:(1)连接OC,根据圆周角定理、切线的性质和等腰三角形等边对等角的性质,应用角的转换即可证得结论.
(2)由已知可得OC是△ABC的中位线,从而可得ΔAEC是直角三角形,即AEC的外接圆的直径为AC,通过证明ΔABC∽ΔCDE求得BC的长,在RtΔABC中应用勾股定理求出AC的长,从而得到∆ACE的外接圆的半径.
试题解析:(1)如图,连接OC,
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB =" 90°." ∴∠ABC+∠BAC= 90°.
又∵CM是⊙O的切线,∴OC⊥CM. ∴∠ACM+∠ACO=" 90°" .
∵CO = AO,∴∠BAC =∠ACO. ∴∠ACM =∠ABC.
(2)∵BC = CD,BO = OA,∴OC∥AD.
又∵OC⊥CE. ∴AD⊥CE. ∴ΔAEC是直角三角形. ∴ΔAEC的外接圆的直径为AC.
又∵∠ABC+∠BAC= 90°,∠ACM+∠ECD = 90°,∠ABC =∠ACM,∴∠BAC =∠ECD.
又∵∠CED =∠ACB = 90°,∴ΔABC∽ΔCDE. ∴
.
∵⊙O的半径为3,ED = 2,∴AB = 6.∴
,解得
.
∴在RtΔABC中,
.
∴ ΔAEC的外接圆的半径为
.
举一反三
如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠ACD=120°.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
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如果圆锥的母线长为5cm,底面半径为2cm,那么这个圆锥的侧面积是( )
A.
B.
C.
D.
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在数学活动课上,王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板,要求同学们:(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具,把圆形纸板分成面积相等的四部分;(2)设计的整个图案是某种对称图形.王老师给出了方案一,请你用所学的知识再设计两种方案,并完成下面的设计报告.
名称
四等分圆的面积
方案
方案一
方案二
方案三
选用的工具
带刻度的三角板
量角器
带刻度的三角板、圆规
画出示意图
简述设计方案
作⊙O两条互相垂直的直径AB、CD,将⊙O的面积分成相等的四份.
指出对称性
既是轴对称图形又是中心对称图形
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阅读材料:
已知,如图(1),在面积为S的△ABC中, BC=a,AC="b," AB=c,内切圆O的半径为r.连接OA、OB、OC,△ABC被划分为三个小三角形.
∵
.
∴
.
(1)类比推理:若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆),如图(2),各边长分别为AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求四边形的内切圆半径r;
(2)理解应用:如图(3),在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=21,CD=11,AD=13,⊙O
1
与⊙O
2
分别为△ABD与△BCD的内切圆,设它们的半径分别为r
1
和r
2
,求
的值.
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在圆心角为120°的扇形AOB中,半径OA=6cm,则扇形AOB的面积是( )
A.
B.
C.
D.
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