如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积.

题型：不详难度：来源：

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积.

答案

（1）证明见解析；（2）..

解析

试题分析：（1）要证CD是⊙O的切线，只要证CD垂直于过切点的半径即可.
（2）要求图中阴影部分的面积，只要求出△OCD的面积和扇形OCB的面积即可.
试题解析：（1）如图，连接OC.
∵ AC＝CD，∠ACD＝120⁰，∴∠A＝∠D＝30⁰.
∵ OA＝OC,∴∠2＝∠A＝30⁰. ∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90⁰.
∴ CD是⊙O的切线.
（2）∵∠A＝30^o， ∴∠1＝2∠A＝60⁰. ∴.
在Rt△OCD中, CD ＝OCtan60⁰＝，
∴.
∴ 图中阴影部分的面积为.