设函数f(x)=x2-aln(x+1),其中a∈R.(Ⅰ)若f"(1)=0,求a的值;(Ⅱ)当a<0时,讨论函数f(x)在其定义域上的单调性;(Ⅲ)证明:对任意

设函数f(x)=x2-aln(x+1),其中a∈R.(Ⅰ)若f"(1)=0,求a的值;(Ⅱ)当a<0时,讨论函数f(x)在其定义域上的单调性;(Ⅲ)证明:对任意

题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=x2-aln(x+1),其中a∈R.
(Ⅰ)若f"(1)=0,求a的值;
(Ⅱ)当a<0时,讨论函数f(x)在其定义域上的单调性;
(Ⅲ)证明:对任意的正整数n,不等式ln(n+1)>
n


k=1
(
1
k2
-
1
k3
)
都成立.
答案
(Ⅰ)求导函数,可得f′(x)=2x-
a
x+1

∵f′(1)=0,∴2-
a
2
=0
,∴a=4;
(Ⅱ)当a<0时,令f′(x)<0可得-1<x<
-1+


1-2a
2
,令f′(x)>0可得x>
-1+


1-2a
2

∴当a<0时,函数的单调减区间是(-1,
-1+


1-2a
2
),单调增区间是(
-1+


1-2a
2
,+∞);
(Ⅲ)证明:令g(x)=x2-ln(x+1)-x3(0<x≤1),
则g′(x)=
-3x3-(x-1)2
x+1
,当0<x≤1时,g"(x)<0,
∴g(x)在(0,1]上为减函数,
∴g(x)<g(0)=0,
∴x2-ln(x+1)-x3<0
∴ln(x+1)>x2-x3
令x=
1
n
,则ln(1+
1
n
)>
1
n2
-
1
n3
,∴ln(n+1)-lnn>
1
n2
-
1
n3

n




k=1
(
1
k2
-
1
k3
)
<ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln(n+1)-lnn=ln(n+1)
∴不等式ln(n+1)>
n




k=1
(
1
k2
-
1
k3
)
都成立.
举一反三
设f(x),g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数,且f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当a<x<b时,下列结论中正确的是(  )
A.f(x)g(x)>f(b)g(b)B.f(x)g(a)>f(a)g(x)C.f(x)g(b)>f(b)g(x)D.f(x)g(x)>f(a)g(a)
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已知y=
1
3
x3+2x2+a2x+5
是单调函数,则实数a的取值范围是(  )
A.(-∞,-1]∪[1,+∞)B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-∞,-3]∪[3,+∞)D.(-∞,-4]∪[4,+∞)
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已知函数f(x)=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围为(  )
A.m>
1
2
B.m<1C.m≤
1
2
D.m≥
1
2
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已知:三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c,在(-∞,-1),(2,+∞)上单调增,在(-1,2)上单调减,当且仅当x>4时,
f(x)>x2-4x+5.
(1)求函数f (x)的解析式;
(2)若函数h(x)=
f′(x)
3(x-2)
-(m+1)ln(x+m)
,求h(x)的单调区间.
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已知e为自然对数的底数,函数y=xex的单调递增区间是(  )
A.[-1,+∞)B.(-∞,-1]C.[1,+∞)D.(-∞,1]
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