已知:三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c,在(-∞,-1),(2,+∞)上单调增,在(-1,2)上单调减,当且仅当x>4时,f(x)>x2-4x+5.(1

已知:三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c,在(-∞,-1),(2,+∞)上单调增,在(-1,2)上单调减,当且仅当x>4时,f(x)>x2-4x+5.(1

题型:不详难度:来源:
已知:三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c,在(-∞,-1),(2,+∞)上单调增,在(-1,2)上单调减,当且仅当x>4时,
f(x)>x2-4x+5.
(1)求函数f (x)的解析式;
(2)若函数h(x)=
f′(x)
3(x-2)
-(m+1)ln(x+m)
,求h(x)的单调区间.
答案
(1)∵f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上单增,(-1,2)上单减
∴f"(x)=3x2+2ax+b=0有两根-1,2





-1+2=-
2a
3
-1×2=
b
3





a=-
3
2
b=-6
∴f(x)=x3-
3
2
x2-6x+c
…2
g(x)=f(x)-x2-4x+5=x3-
5
2
x2-2x+c-5
g′(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2)g(x)在(-∞,-
1
3
),(2,+∞)
单调增,(-
1
3
,2)
单调减





g(4)=0
g(-
1
3
)<0
∴c=-11

f(x)=x3-
3
2
x2-6x-11
.…5
(2)∵f′(x)=3x2-3x-6
h(x)的定义域:…6∴h(x)=x+1-(m+1)ln(x+m)(x>-m且x≠2)…7
h′(x)=1-
m+1
x+m
=
x-1
x+m
…9
①m>-1时,-m<1.x∈(-m,1)2时,h"(x)<03;x∈(1,2)∪(2,+∞)4时,h"(x)>05
∴h(x)在(-m,1)单减;在(1,2),(2,+∞)上单增;
②-2<m≤-1时,h"(x)>0在定义域内恒成立,h(x)在(-m,2),(2,+∞)上单增
③当m≤-2时,此时h(x)的定义域为:(-m,+∞),h(x)在(-m,+∞)上单增
综上:当m≤-2时,h(x)在(-m,+∞)上单增;
当-2<m≤-1时,h(x)在(-m,2),(2,+∞)上单增;
当m>-1时,在(1,2),(2,+∞)上单增;在(-m,1)单减.…12
举一反三
已知e为自然对数的底数,函数y=xex的单调递增区间是(  )
A.[-1,+∞)B.(-∞,-1]C.[1,+∞)D.(-∞,1]
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已知f(x)=ax2-blnx+2x(a>0,b>0)在区间(
1
2
,1)
上不单调,则
3b-2
3a+2
的取值范围是(  )
A.[
1
2
,2]
B.(
1
2
,2)
C.(-
1
2
,+∞)
D.(2,+∞)
题型:不详难度:| 查看答案
函数f(x)=x2ex的单调减区间是______.
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设函数f(x)=x2+bln(x+1).
(I)若对定义域内的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求实数b的值;
(II)若函数f(x)的定义域上是单调函数,求实数b的取值范围;
(III)若b=-1,证明对任意的正整数n,不等式
n


k=i
f(
1
k
)<1+
1
23
+
1
33
+…+
1
n3
成立.
题型:武昌区模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)=(x2+ax+2)ex,(x,a∈R).
(1)当a=0时,求函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在R上单调,求a的取值范围;
(3)当a=-
5
2
时,求函数f(x)的极小值.
题型:不详难度:| 查看答案
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