设函数f(x)=x2+bln(x+1).(I)若对定义域内的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求实数b的值;(II)若函数f(x)的定义域上是单调函数,求实数

设函数f(x)=x2+bln(x+1).(I)若对定义域内的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求实数b的值;(II)若函数f(x)的定义域上是单调函数,求实数

题型:武昌区模拟难度:来源:
设函数f(x)=x2+bln(x+1).
(I)若对定义域内的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求实数b的值;
(II)若函数f(x)的定义域上是单调函数,求实数b的取值范围;
(III)若b=-1,证明对任意的正整数n,不等式
n


k=i
f(
1
k
)<1+
1
23
+
1
33
+…+
1
n3
成立.
答案
(Ⅰ)由x+1>0,得x>-1.
∴f(x)的定义域为(-1,+∞).…(1分)
因为对x∈(-1,+∞),都有f(x)≥f(1),
∴f(1)是函数f(x)的最小值,故有f′(1)=0.…(2分)
f(x)=2x+
b
x+1

∴2+
b
2
=0,解得b=-4.      …(3分)
经检验,b=-4时,f(x)在(-1,1)上单调减,在(1,+∞)上单调增.
f(1)为最小值.故得证. …(4分)
(Ⅱ)∵f(x)=2x+
b
x+1
=
2x2+2x+b
x+1

又函数f(x)在定义域上是单调函数,
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(_1,+∞)上恒成立.…(6分)
若f′(x)≥0,则2x+
b
x+1
≥0在(-1,+∞)上恒成立,
即b≥-2x2-2x=-2(x+
1
2
2+
1
2
恒成立,由此得b
1
2
;…(8分)
若f′(x)≤0,则2x+
b
x+1
≤0在(-1,+∞)上恒成立,
即b≤-2x2-2x=-2(x+
1
2
2+
1
2
恒成立.
-2(x+
1
2
)2+
1
2
在(-1,+∞)上没有最小值,
∴不存在实数b使f′(x)≤0恒成立.
综上所述,实数b的取值范围是[
1
2
,+∞
).…(10分)
(Ⅲ)当b=1时,函数f(x)=x2-ln(x+1).
令h(x)=f(x)-x3=-x3+x2-ln(x+1),
h(x)=-3x2+2x-
1
x+1
=-
3x3+(x-1)2
x+1

当x∈(0,+∞)时,h′(x)<0,
所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递减.
又h(0)=0,∴当x∈[0,+∞)时,恒有h(x)<h(0)=0,
即x2-ln(x+1)<x3恒成立.
故当x∈(0,+∞)时,有f(x)<x3.…(12分)
∵k∈N*,∴
1
k
∈(0,+∞)

x=
1
k
,则有f(
1
k
) <
1
k3

n


k=1
f(
1
k
) <1+
1
23
+
1
3 3
+…+
1
n3

所以结论成立. …(14分)
举一反三
已知函数f(x)=(x2+ax+2)ex,(x,a∈R).
(1)当a=0时,求函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在R上单调,求a的取值范围;
(3)当a=-
5
2
时,求函数f(x)的极小值.
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已知定义在R上的奇函数f(x),设其导函数f′(x),当x∈(-∞,0]时,恒有xf′(x)<f(-x),则满足
1
3
(2x-1)f(2x-1)<f(3)
的实数x的取值范围是(  )
A.(-1,2)B.(-1,
1
2
C.(
1
2
,2)
D.(-2,1)
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=51nx+ax2-6x(a为常数),且f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴.
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=1n(ax+1)+
1-x
1+x
(x≥0,a为正实数).
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若函数f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
函数f(x)=x-lnx的单调减区间为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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