已知f(x)=(x2+1)(x+a)(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于1,求a的取值范围.(2)若y=f(x)在x∈(
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已知f(x)=(x2+1)(x+a) (1)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于1,求a的取值范围. (2)若y=f(x)在x∈(0,+∞)上有极值点,求a的取值范围. |
答案
(1)x∈(0,+∞)时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于1, 等价于f′(x)>1在x∈(0,+∞)上恒成立,即3x2+2ax+1>1,也即3x+2a>0在x∈(0,+∞)上恒成立, 所以3×0+2a≥0,解得a≥0, 故实数a 的取值范围为[0,+∞). (2)f′(x)=3x2+2ax+1,易知f′(0)=1>0, 要使f(x)在x∈(0,+∞)上有极值点,只需y=f′(x)在(0,+∞)上有两个零点即可, 所以有,解得a<-. 故a的取值范围为:(-∞,-). |
举一反三
在曲线y=x2过哪一点的切线, (1)平行于直线y=4x-5 (2)垂直于直线2x-6y+5=0. |
已知二次函数f(x)=ax2+(a2+2)x-在x=2处的切线斜率为2,则该函数的最大值为 ______. |
函数y=cos2x在点(,0)处的切线方程是______. |
(1)求函数f(x)=ex在x=0处的切线方程. (2)x∈R,证明不等式ex≥x+1. |
若曲线f(x)=x4-x+2在点发P处的切线与直线x+3y-1=0垂直,则点P的坐标是______. |
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