设函数f(x)=ax+2,g(x)=a2x2-lnx+2,其中a∈R,x>0.(Ⅰ)若a=2,求曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程;(Ⅱ)是否存在

设函数f(x)=ax+2,g(x)=a2x2-lnx+2,其中a∈R,x>0.(Ⅰ)若a=2,求曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程;(Ⅱ)是否存在

题型:安徽模拟难度:来源:
设函数f(x)=ax+2,g(x)=a2x2-lnx+2,其中a∈R,x>0.
(Ⅰ)若a=2,求曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程;
(Ⅱ)是否存在负数a,使f(x)≤g(x)对一切正数x都成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)由题意可知:当a=2时,g(x)=4x2-lnx+2
g′(x)=8x-
1
x

曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线斜率k=g"(1)=7,又g(1)=6
曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线的方程为y-6=7(x-1)即y=7x-1
(Ⅱ)设函数h(x)=f(x)-g(x)=ax+lnx-a2x2(x>0)
假设存在负数a,使得f(x)≤g(x)对一切正数x都成立.
即:当x>0时,h(x)的最大值小于等于零.h′(x)=a+
1
x
-2a2x=
-2a2x2+ax+1
x
(x>0)

令h"(x)=0可得:x2=-
1
2a
x1=
1
a
(舍)
0<x<-
1
2a
时,h"(x)>0,h(x)单增;
x>-
1
2a
时,h"(x)<0,h(x)单减.
所以h(x)在x=-
1
2a
处有极大值,也是最大值.∴h(x)max=h(-
1
2a
)≤0
解得:a≤-
1
2
e-
3
4

所以负数a存在,它的取值范围为:a≤-
1
2
e-
3
4
举一反三
已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c的图象为曲线C.
(1)若曲线C上存在点P,使曲线C在P点处的切线与x轴平行,求a,b的关系;
(2)若函数f(x)可以在x=-1和x=3时取得极值,求此时a,b的值;
(3)在满足(2)的条件下,f(x)<2c在x∈[-2,6]恒成立,求c的取值范围.
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已知函数f(x)=
1
2
x2
+cosx,则f(x)取得极值时的x值为______.
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函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=ex-e,则f′(1)=______.
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设f(x)的导函数是f′(x0),若f′(x0)=1,则
lim
△x→0
f(x0+2△x)-f(x0)
△x
=______.
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已知f(x)=(x2+1)(x+a)
(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于1,求a的取值范围.
(2)若y=f(x)在x∈(0,+∞)上有极值点,求a的取值范围.
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