如图,矩形ABCD中,P是线段AD上一动点,O为BD中点,PO的延长线交BC于Q。(1)求证:四边形PDQB为平行四边形;(2)若AD=8cm,AB=6cm,P

如图,矩形ABCD中,P是线段AD上一动点,O为BD中点,PO的延长线交BC于Q。(1)求证:四边形PDQB为平行四边形;(2)若AD=8cm,AB=6cm,P

题型:不详难度:来源:
如图,矩形ABCD中,P是线段AD上一动点,O为BD中点,PO的延长线交BC于Q。

(1)求证:四边形PDQB为平行四边形;
(2)若AD=8cm,AB=6cm,P从点A出发,以1cm/秒的速度向D运动(不与D重合)。设点P运动时间为t秒,请用t表示PD的长,并求t为何值时,四边形PBQD是菱形。
答案
(1)先根据矩形的性质可得∠PDO=∠QBO,再结合对顶角相等O为BD中点,即可根据“AAS”证得△POD△QOB,则可得PO=OQ,从而证得结论;(2)
解析

试题分析:(1)先根据矩形的性质可得∠PDO=∠QBO,再结合对顶角相等O为BD中点,即可根据“AAS”证得△POD△QOB,则可得PO=OQ,从而证得结论;
(2)由PB=PD=8-t,在Rt△PAB中,根据勾股定理结合菱形的判定即可求得结果.
(1)在矩形ABCD中,AD∥BC
∴∠PDO=∠QBO,又∠POD=∠QOB
∵ O为BD中点,∴BO=DO
∴△POD△QOB(AAS)
∴PO=OQ,又BO=OD
∴四边形PDQB为平行四边形;
(2)PD=8-t,在平行四边形PBQD中,当PB=PD时,平行四边形PBQD为菱形
∴PB=PD=8-t          
在Rt△PAB中,
解得:
答:当时,四边形PBQD为菱形.
点评:本题知识点多,综合性强,难度较大,需要同学们熟练掌握特殊四边形的判定和性质.
举一反三
学完“证明(二)”一章后,老师布置了一道思考题:如图,点M、N分别在正三角形ABC的边BC.CA上,且BM=CN,AM、BN交于点Q。求证:∠BQM=60°。

(1)请你完成这道思考题;
(2)做完(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出了许多问题,如:
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换,得到的是否仍是真命题?
②若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°?
③若将题中的条件“点M,N分别在正三角形ABC的BC、CA边上”改为“点M,N分别在正方形ABCD的BC,CD边上”,是否仍能得到∠BQM=60°?对②,③进行证明。(自己画出对应的图形)
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顺次连接等腰梯形的各边中点所得的四边形是___________.
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如图,在长方形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=8cm,按如图方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则______cm.
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如图1,平行四边形纸片的面积为120,.沿两对角线将四边形剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片.若将甲、丙合并(重合)形成对称图形戊,如图2所示,则图形戊的两条对角线长度之和是     .
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如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,过点C作BD的平行线CE,过点D作AC的平行线DE,CE与DE相交于点E,试说明四边形OCED是矩形.
 
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