在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y

在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y

题型:江苏省中考真题难度:来源:
在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y。
(1)求线段AD的长;
(2)若EF⊥AB,当点E在线段AB上移动时,
①求y与x的函数关系式(写出自变量x的取值范围);
②当x取何值时,y有最大值?并求其最大值;
(3)若F在直角边AC上(点F与A、C两点均不重合),点E在斜边AB上移动,试问:是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分?若存在直线EF,求出x的值;若不存在直线EF,请说明理由。
答案
解:(1)∵AC=3,BC=4
∴AB=5
AC·BC=AB·CD,
∴CD=,AD=
(2)①当0<x≤
∵EF∥CD
∴△AEF∽△ADC

即EF=x
∴y=·x·x=
<x≤5时
易得△BEF∽△BDC,同理可求EF=(5-x)
∴y=·x·(5-x)=
②当0<x≤时,y随x的增大而增大,
,即当x=时,y最大值为
<x≤5时,

∴当时,y的最大值为

∴当时,y的最大值为
(3)假设存在 当0<x≤5时,AF=6-x
∴0<6-x<3
∴3<x<6
∴3<x≤5
作FG⊥AB与点G 由△AFG∽△ACD可得
,即FG=
=
=3,即2x2-12x+5=0
解之得
∵3<x1≤5
∴x1=符合题意
∵x2=<3
∴x2不合题意,应舍去
∴存在这样的直线EF,此时,x=
举一反三
如图1,某灌溉设备的喷头B高出地面1.25m,喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的距离为1m处达到距地面最大高度2.25m,试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式。学生小龙在解答图1所示的问题时,具体解答如下:
①以水流的最高点为原点,过原点的水平线为横轴,过原点的铅垂线为纵轴,建立如图2所示的平面直角坐标系;
②设抛物线水流对应的二次函数关系式为y=ax2
③根据题意可得B点与x轴的距离为1m,故B点的坐标为(-1,1);
④代入y=ax2得-1=a·1,所以a=-1;
⑤所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y=-x2。数学老师看了小龙的解题过程说:“小龙的解答是错误的”。

(1)请指出小龙的解答从第_______步开始出现错误,错误的原因是什么?
(2)请你写出完整的正确解答过程。
题型:新疆自治区中考真题难度:| 查看答案
已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点。
(1)求C1的顶点坐标;
(2)将C1向下平移若干个单位后,得抛物线C2,如果C2与x轴的一个交点为A(-3,0),求C2的函数关系式,并求C2与x轴的另一个交点坐标;
(3)若P(n,y1),Q(2,y2)是C1上的两点,且y1>y2,求实数n的取值范围。
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已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表:

则该二次函数的解析式为(    )。
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已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过O(0,0),M(1,1)和N(n,0)(n≠0)三点。
(1)若该函数图象顶点恰为M点,写出此时n的值及y的最大值;
(2)当n=-2时,确定这个二次函数的解析式,并判断此时y是否有最大值;
(3)由(1)、(2)可知,n的取值变化,会影响该函数图象的开口方向,请求出n满足什么条件时,y有最小值。
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在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C,顶点为E。
(Ⅰ)若b=2,c=3,求此时抛物线顶点E的坐标;
(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC中满足S△BCE=S△ABC,求此时直线BC的解析式;
(Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC中满足S△BCE=2S△AOC,且顶点E恰好落在直线y=-4x+3上,求此时抛物线的解析式。
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