已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点。(1)求C1的顶点坐标;(2)将C1向下平移若干个单位后,得抛物线C2,如果C2与x轴的一个交
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已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点。 (1)求C1的顶点坐标; (2)将C1向下平移若干个单位后,得抛物线C2,如果C2与x轴的一个交点为A(-3,0),求C2的函数关系式,并求C2与x轴的另一个交点坐标; (3)若P(n,y1),Q(2,y2)是C1上的两点,且y1>y2,求实数n的取值范围。 |
答案
解:(1)y=x2+2x+m=(x+1)2+m-1,对称轴为x=-1, ∵与x轴有且只有一个公共点, ∴顶点的纵坐标为0, ∴C1的顶点坐标为(-1,0); (2)设C2的函数关系式为y=(x+1)2+k, 把A(-3,0)代入上式得(-3+1)2+k=0得k=-4, ∴C2的函数关系式为y=(x+1)2-4, ∵抛物线的对称轴为x=-1, 与x轴的一个交点为A(-3,0), 由对称性可知,它与x轴的另一个交点坐标为(1,0); (3)当x≥-1时,y随x的增大而增大, 当n≥-1时,∵y1>y2,∴n>2; 当n<-1时,P(n,y1)的对称点的坐标为(-2-n,y1),且-2-n≥-1, ∵y1>y2, ∴-2-n>2, ∴n<-4, 综上所述:n>2或n<-4。 |
举一反三
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表: |
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则该二次函数的解析式为( )。 |
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过O(0,0),M(1,1)和N(n,0)(n≠0)三点。 (1)若该函数图象顶点恰为M点,写出此时n的值及y的最大值; (2)当n=-2时,确定这个二次函数的解析式,并判断此时y是否有最大值; (3)由(1)、(2)可知,n的取值变化,会影响该函数图象的开口方向,请求出n满足什么条件时,y有最小值。 |
在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C,顶点为E。 (Ⅰ)若b=2,c=3,求此时抛物线顶点E的坐标; (Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC中满足S△BCE=S△ABC,求此时直线BC的解析式; (Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC中满足S△BCE=2S△AOC,且顶点E恰好落在直线y=-4x+3上,求此时抛物线的解析式。 |
如图,已知抛物线y=-x2+x+4交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B。 (1)求A、B两点的坐标,并求直线AB的解析式; (2)设P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一点,Q是OP的中点(O是原点),以PQ为对角线作正方形PEQF,若正方形PEQF与直线AB有公共点,求x的取值范围; (3)在(2)的条件下,记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S,求S关于x的函数解析式,并探究S的最大值。 |
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已知二次函数y=ax2+bx-3的图象经过点A(2,-3),B(-1,0)。 (1)求二次函数的解析式; (2)填空:要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点,应把图象沿y轴向上平移______个单位。 |
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