已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3,过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连

已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3,过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连

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已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3,过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA予点E。
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G,如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)由已知,得C(3,0),D(2,2),
∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD,
∴AE=AD·tan∠ADE=2×tan∠BCD=2×=1
∴E(0,1)
设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
将点E的坐标代入,得c=1,
将c=1和点D、C的坐标分别代入,得
,解这个方程组,得
故抛物线的解析式为y=
(2)EF=2GO成立,
∵点M在该抛物线上,且它的横坐标为
∴点M的纵坐标为
设DM的解析式为y=kx+b1(k≠0),
将点D、M的坐标分别代入,得
,解得
∴DM的解析式为y=-x+3,
∴F(0,3),EF=2,
如图甲,过点D作DK⊥OC于点K,则DA=DK,
∵∠ADK=∠FDG=90°,
∴∠FDA=∠GDK,
又∵∠FAD=∠GKD=90°,
∴△DAF≌△DKG,
∴KG=AF=1,
∴CO=1,
∴EF=2GO;
(3)∵点P在AB上,G(1,0),C(3,0),则设P(t,2),
∴PG2=(t-1)2+22,PC2=(3-t)2+22,GC=2,
①若PG=PC,则(t-1)2+22=(3-t)2+22,解得t=2,
∴P(2,2),此时点Q与点P重合,
∴Q(2,2);
②若PG=GC,则(t-1)2+22=22,解得t=1,
∴P(1,2),此时GP⊥x轴,CP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1,
∴点Q的纵坐标为
∴Q(1,);
③若PC=GC,则(3-t)2+22=22,解得t=3,
∴P(3,2),此时 PC=GC=2,△PCG是等腰直角三角形,
如图乙,过点Q作QH⊥x轴于点H,则QH=GH,设QH=h,
∴Q(h+1,h),
∴(h+1)2+(h+1)+1=h,解得h1=,h2=-2(舍去),

综上所述,存在三个满足条件的点Q,即Q(2,2)或Q
举一反三
将抛物线y=2x2先沿x轴方向向左平移2个单位,再沿y轴方向向下平移3个单位,所得抛物线的解析式是(    )。
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心理学家研究发现,一般情况下,学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力逐渐增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态,随后学生的注意力开始分散,经过实验分析可知,学生的注意力y,随时间t的变化规律有如下关系式:

(1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较,何时学生的注意力更集中?
(2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?
(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,为了效果较好,要求学生的注意力最低达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?

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如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连接OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB。
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由。
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某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套,经过一段时间的经营后发现:当每套机械设备的月租金为270元时,恰好全部租出,在此基础上,当每套设备的月租金每提高10元时,这种设备就少租出一套,且未租出的一套设备每月需要支出费用(维护费、管理费等)20元,设每套设备的月租金为x(元),租赁公司出租该型号设备的月收益(收益=租金收入-支出费用)为y(元)。
(l)用含x的代数式表示未租出的设备数(套)以及所有未租出设备(套)的支出费用;
(2)求y与x之间的二次函数关系式(不要求写出x的取值范围);
(3)当月租金分别为300元和350元时,租赁公司的月收益分别是多少元?此时应该出租多少套机械设备?请你简要说明理由;
(4)请把(2)中所求出的二次函数配方成y=的形式,并据此说明:当x为何值时,租赁公司出租该型号设备的月收益最大?最大月收益是多少?
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已知抛物线y=-x2-2kx+3k2(k>0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,以AB为直径的⊙E交y轴于点D、F (如图1),且DF=4,G是劣弧上的动点(不与点A、D 重合),直线CG交x轴于点P。
(1)求抛物线的解析式;
(2)当直线CG是⊙E的切线时,求tan∠PCO的值;
(3)当直线CG是⊙E的割线时,作GN⊥AB,垂足为H,交PF于点M,交⊙E于另一点N,设MN=t,GM =u,求u关于t的函数关系式。
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