心理学家研究发现,一般情况下,学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力逐渐增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态,随后学生
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心理学家研究发现,一般情况下,学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力逐渐增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态,随后学生的注意力开始分散,经过实验分析可知,学生的注意力y,随时间t的变化规律有如下关系式:
(1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较,何时学生的注意力更集中? (2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟? (3)一道数学难题,需要讲解24分钟,为了效果较好,要求学生的注意力最低达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目? |
答案
解:(1)当x=5时,y=195, 当x=25时,y=205, ∵205> 195, ∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中; (2)当0<t≤10时,y=-t2+24t+100=-(t-12)2+244,该图像的对称轴为t=12,在对称轴左侧,y随t的增大而增大,所以,当t=10时,y有最大值240, 当20<t≤40时,y=-7t+380,y随t的增大而减小,所以,当t=20时,y有最大值240, 所以,讲课开始后10分钟时,学生的注意力最集中,能持续10分钟; (3)当0<t≤10时,令y=-t2+24t+100=180, ∴t=4, 当20<t≤40时,令y=-7t+380=180, ∴t=28.57, 所以,学生注意力在180以上的持续时间为28.57-4=24.57(分钟), 所以,老师可以经过适当安排,能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目。 |
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连接OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB。 |
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(1)求点B的坐标; (2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由; (4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由。 |
某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套,经过一段时间的经营后发现:当每套机械设备的月租金为270元时,恰好全部租出,在此基础上,当每套设备的月租金每提高10元时,这种设备就少租出一套,且未租出的一套设备每月需要支出费用(维护费、管理费等)20元,设每套设备的月租金为x(元),租赁公司出租该型号设备的月收益(收益=租金收入-支出费用)为y(元)。 (l)用含x的代数式表示未租出的设备数(套)以及所有未租出设备(套)的支出费用; (2)求y与x之间的二次函数关系式(不要求写出x的取值范围); (3)当月租金分别为300元和350元时,租赁公司的月收益分别是多少元?此时应该出租多少套机械设备?请你简要说明理由; (4)请把(2)中所求出的二次函数配方成y=的形式,并据此说明:当x为何值时,租赁公司出租该型号设备的月收益最大?最大月收益是多少? |
已知抛物线y=-x2-2kx+3k2(k>0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,以AB为直径的⊙E交y轴于点D、F (如图1),且DF=4,G是劣弧上的动点(不与点A、D 重合),直线CG交x轴于点P。 |
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(1)求抛物线的解析式; (2)当直线CG是⊙E的切线时,求tan∠PCO的值; (3)当直线CG是⊙E的割线时,作GN⊥AB,垂足为H,交PF于点M,交⊙E于另一点N,设MN=t,GM =u,求u关于t的函数关系式。 |
在直角坐标系xOy中,O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别为A(5,0),B(0,4),C(-1,0),点M和点N在x 轴上(点M在点N的左边),点N在原点的右边,作MP⊥BN,垂足为P(点P在线段BN上,且点P与点B不重合),直线MP与y,轴交于点C,MG=BN。 (1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式; (2)求点M的坐标; (3)设ON=t,△MOG的面积为s,求s与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围; (4)过点B作直线BK平行于x轴,在直线BK上是否存在点R,使△ORA为等腰三角形,若存在,请直接写出点R的坐标;若不存在,请说明理由。 |
如图,在直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(-1,0)、(3,0)、(0,3),过A、B、C三点的抛物线的对称轴为直线l,D为对称轴l上一动点。 |
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(1)求抛物线的解析式; (2)求当AD+CD最小时点D的坐标; (3)以点A为圆心,以AD为半径作⊙A, ①证明:当AD+CD最小时,直线BD与⊙A相切; ②写出直线BD与⊙A相切时,D点的另一个坐标:____。 |
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