如图,在直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(-1,0)、(3,0)、(0,3),过A、B、C三点的抛物线的对称轴为直线l,D为对称轴l上一动点。(1)求抛物

如图,在直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(-1,0)、(3,0)、(0,3),过A、B、C三点的抛物线的对称轴为直线l,D为对称轴l上一动点。(1)求抛物

题型:山东省中考真题难度:来源:
如图,在直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(-1,0)、(3,0)、(0,3),过A、B、C三点的抛物线的对称轴为直线l,D为对称轴l上一动点。
(1)求抛物线的解析式;
(2)求当AD+CD最小时点D的坐标;
(3)以点A为圆心,以AD为半径作⊙A,
①证明:当AD+CD最小时,直线BD与⊙A相切;
②写出直线BD与⊙A相切时,D点的另一个坐标:____。
答案
解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),
将(0,3)代入上式,得3=a(0+1)(0-3),解得a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3;
(2)如图所示,连接BC,交直线l于点D,连接AD交于BC于点D,
∵点B与点A关于直线l对称,
∴AD=BD,
∴AD+CD=BD+CD=BC,
由“两点之间,线段最短”的原理可知:此时AD+CD最小,点D的位置即为所求,
设直线BC的解析式为y=kx+b,由直线BC过点(3,0),(0,3),得
,解这个方程组,得
∴直线BC的解析式为y=-x+3,
由(1)知:对称轴l为x=
将x=1代入y=-x+3,得y=-1+3=2,
∴点D的坐标为(1,2);
(3)①设直线l与x轴的交点记为点E,
由(1)知:当AD+CD最小时,点D的坐标为(1,2),
∴DE=AE=BE=2,
∴∠DAB=∠DBA=45°,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BD,
∴BD与⊙A相切,
②(1,-2)。
举一反三
一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC。
(1)若m为常数,求抛物线的解析式;
(2)若m为小于O的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。
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已知抛物线y=ax2-2ax+b与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①,P为抛物线上的点,且在第二象限,若△POA的面积等于△POB的面积的2倍,求点P的坐标;
(3)如图②,C为抛物线的顶点,在y轴上是否存在点D使△DAC为直角三角形,若存在,求出所有符合条件的D点的坐标;若不存在,请说明理由。
题型:模拟题难度:| 查看答案
如图,在直角坐标系中,抛物线与x轴交与点A(-1,0)、B(3,0)两点,抛物线交y轴于点C(0,3),点D为抛物线的顶点,直线y=x-1交抛物线于点M、N两点,过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q。
(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)问点P在何处时,线段PQ最长,最长为多少?
(3)设E为线段OC上的三等分点,连接EP,EQ,若EP=EQ,求点P的坐标。
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如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A、C,与y轴相交于点B,A,且△AOB∽△BOC。
(1)求C点的坐标、∠ABC的度数;
(2)求二次函数y=ax2+bx+3的解析式;
(3)在线段AC上是否存在M(m,0)点,使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同),且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。
题型:内蒙古自治区中考真题难度:| 查看答案
某商场将进货价位30元的书包以40元售出,平均每月能售出600个,调查表明:这种书包的售价每个上涨1元,其销售量就减少10个。
(1)请写出每月售出书包的利润y(元)与每个书包涨价x(元)间的函数关系式;
(2)设某月的利润为10000元,此利润是否为该月的最大利润,请说明理由;
(3)请分析并回答售价在什么范围内商家获得的月利润不低于6000元。
题型:模拟题难度:| 查看答案
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