解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-m+2)(x-m-2)=a(x-m)2-4a, ∵AC⊥BC,由抛物线的对称性可知:△ACB为等腰直角三角形,又AB=4, ∴C(m,-2)代入得a=, ∴解析式为:y=(x-m)2-2; (2)∵m为小于0的常数, ∴只需将抛物线向右平移-m个单位,再向上平移2个单位, 可以使抛物线y=(x-m)2-2顶点在坐标原点; (3)由(1)得D(0,m2-2),设存在实数m,使得△BOD为等腰三角形, ∵△BOD为直角三角形, ∴只能OD=OB, ∴m2-2=|m+2|, 当m+2>0时,解得m=4或m=-2(舍), 当m+2<0时,解得m=0(舍)或m=-2(舍); 当m+2=0时,即m=-2时,B、O、D三点重合(不合题意,舍), 综上所述:存在实数m=4,使得△BOD为等腰三角形。 |