如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交与点A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线交y轴于点C（0，3），点D为抛物线的顶点，直线y=x-1交抛物线于点M、N两点

题型：浙江省中考真题难度：来源：

如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交与点A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线交y轴于点C（0，3），点D为抛物线的顶点，直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q。
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？
（3）设E为线段OC上的三等分点，连接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标。

答案

解：（1）由题意，抛物线交y轴于点C（0，3），故设抛物线的解析式为，
把A（-1，0）、B（3，0）代入，得：
，解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（2）由题意，得P（x，x-1），Q（x，-x²+2x+3），
∴线段PQ=,
∴当时，线段PQ最长为;
（3）∵E为线段OC上的三等分点，OC=3，
∴E（0，1），或E（0，2），
∵EP=EQ，PQ与y轴平行，
∴2·OE=，
当OE=1时，x₁=0，x₂=3，点P坐标为（0，-1）或（3，2）
当OE=2时，x₁=1，x₂=2，点P坐标为（1，0）或（2，1），
综上所述，点P的坐标为（0，-1）或（3，2）或（1，0）或（2，1）。