已知抛物线y=a（x-m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D，若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形AB

题型：浙江省中考真题难度：来源：

已知抛物线y=a（x-m）²+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D，若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线。
（1）如图1，求抛物线y=（x-2）²+1的伴随直线的解析式；
（2）如图2，若抛物线y=a（x-m）²+n（m＞0）的伴随直线是y=x-3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式；
（3）如图3，若抛物线y=a（x-m）²+n的伴随直线是y=-2x+b（b＞0），且伴随四边形ABCD是矩形。
①用含b的代数式表示m、n的值；
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式表示），若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由已知得B（2，1），A（0，5），
设所求直线的解析式为y=kx+b，则，解得，
∴所求直线的解析式为y=-2x+5；
（2）如图1，作BE⊥AC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（0，-3），点C的坐标为（0，3），可得AC=6，
∵□ABCD的面积为12，
∴S_△ABC=6，即S_△ABC=AC·BE=6，
∴BE=2，
∵m＞0，即顶点B在y轴的右侧，且在直线y=x-3上，
∴顶点B的坐标为B（2，-1）又抛物线经过点A（0，-3），
∴a=-，
∴y=-（x-2）²-1；
（3）①如图2，作BE⊥x轴于点E，
由已知得：A的坐标为（0，b），C的坐标为（0，-b），
∵顶点B（m，n）在直线y=-2x+b上，
∴n=-2m+b，即点B的坐标为（m，-2m+b），
在矩形ABCD中，OC=OB，OC²=OB²，
即b²=m²+（-2m+b）²，
∴5m²-4mb=0，
∴m（5m-4b）=0，
∴m₁=0（不合题意，舍去），m₂=b，
∴n=-2m+b=-2×b+b=-b；
②存在，共四个点如下：
P₁（b，b），P₂（b，b），P₃（b，b），P₄（b，-b）。

图2