解:(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c
由题意得
解得
∴二次函数的解析式为y=x2-8x+12,
点P的坐标为(4,-4)。
(2)存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形
理由如下:当y=0时,x2-8x+12=0
∴x1=2,x2=6
∴点B的坐标为(6,0)
设直线BP的解析式为y=kx+m
则
解得
∴直线BP的解析式为y=2x-12
∴直线OD∥BP
∵顶点坐标P(4, -4)
∴OP=4
设D(x,2x)
则BD2=(2x)2+(6-x)2
当BD=OP时,(2x)2+(6-x)2=32
解得:x1=,x2=2
当x2=2时,OD=BP=,四边形OPBD为平行四边形,舍去
∴当x=时四边形OPBD为等腰梯形
∴当D(,)时,四边形OPBD为等腰梯形。
(3)① 当0<t≤2时,
∵运动速度为每秒个单位长度,运动时间为t秒,
则MP=t
∴PH=t,MH=t,HN=t
∴MN=t
∴S=t·t·=t2;
②当2<t<4时,P1G=2t-4,P1H=t
∵MN∥OB
∴∽
∴
∴
∴=3t2-12t+12
∴S=t2-(3t2-12t+12)=-t2+12t-12
∴ 当0<t≤2时,S=t2
当2<t<4时,S=-t2+12t-12。
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