试题分析:(Ⅰ)证明:取AC的中点O,连结OA,OB,BA,则 , 2分 . 4分 ∴AC⊥面BOA. 5分 ∵BA面BOA,∴AC⊥BA. 6分 (Ⅱ)解法一:∵面AACC⊥面ABC,AO⊥AC, ∴AO⊥面ABC. 7分 过点O作OH⊥AB于H,连结AH,则AH⊥AB, ∴∠AHO为所求二面角的平面角. 9分 在等边△ABC中,OH=,AH=. ∴cos∠AHO==. 11分 ∴侧面AABB与底面ABC所成的二面角为arccos. 12分 解法二:以O为坐标原点,OB,OC,OA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 7分
则A(0,-2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2), C(0,4,2),设n=(x,y,z)是面AABB的一个法向量,则n⊥,n⊥, ∵=(0,2,2), =(2,2,0), 8分 ∴ 取x=1,得n=(1,-,). 9分 易知平面ABC的法向量为m=(0,0,1), 10分 所以cos<m,n>==. 11分 ∴ 侧面AABB与底面ABC所成的二面角为arccos. 12分 点评:主要是考查了关于垂直证明,以及二面角的平面角的求解,属于基础题。可以运用代数法也可以运用几何性质来求解和证明。 |