如图,是棱长为的正方体,、分别是棱、上的动点,且.(1)求证:;(2)当、、、共面时,求:面与面所成二面角的余弦值.
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如图,是棱长为的正方体,、分别是棱、上的动点,且.(1)求证:;(2)当、、、共面时,求:面与面所成二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,
是棱长为
的正方体,
、
分别是棱
、
上的动点,且
.
(1)求证:
;
(2)当
、
、
、
共面时,求:面
与面
所成二面角的余弦值.
答案
(1)建立空间坐标系,利用向量垂直证明线线垂直;(2)
解析
试题分析:(1)以
为原点,
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系 …1分,则
、
,设
,则
,
2分,
从而
、
3分,
则
,所以
5分.
(2)易得,
、
,设平面
的一个法向量为
, …6分
依题意
8分,
所以
9分,
同理平面
的一个法向量为
12分,
由图知,面
与面
所成二面角的余弦值
13分.
点评:求解和证明立体几何问题一方面可以直接利用几何方法,通过证明或找到线面之间的关系,依据判定定理或性质进行证明求解.利用空间向量法证明垂直,即证明向量的数量积等于0;若求二面角则通过两个半平面的法向量的夹角进行求解判断。
举一反三
若某空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是______.
题型:不详
难度:
|
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如图,在底面为直角梯形的四棱锥
中
,
平面
,
,
,
.
⑴求证:
;
(2)设点
在棱
上,
,若
∥平面
,求
的值.
题型:不详
难度:
|
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一空间几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积为12π+
,则正视图与侧视图中
x
的值为( )
.
.
.
.
题型:不详
难度:
|
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如图, 正三棱柱
的主视图(又称正视图)是边长为4的正方形, 则此正三棱柱的侧视图(又称左视图)的面积为( )
A.
B.
C.
D.16
题型:不详
难度:
|
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某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
A.
B.228
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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