已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；（Ⅲ）异面直线

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已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：
（Ⅰ）D₁E与平面BC₁D所成角的大小；
（Ⅱ）二面角D－BC₁－C的大小；
（Ⅲ）异面直线B₁D₁与BC₁之间的距离．

答案

（1）（2）（3）

解析

建立坐标系如图，则、，，
，，，，，
，，．
（Ⅰ）不难证明为平面BC₁D的法向量，
∵
∴ D₁E与平面BC₁D所成的角的大小为 （即）．
（Ⅱ）、分别为平面BC₁D、BC₁C的法向量，
∵，∴ 二面角D－BC₁－C的大小为．
（Ⅲ）∵B₁D₁∥平面BC₁D，∴B₁D₁与BC₁之间的距离为．