(本小题满分15分) 如图，在三棱锥中，，，点分别是的中点，底面．（1）求证：平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值；（3）当为何值时，在平面内的射影恰

题型：不详难度：来源：

(本小题满分15分) 如图，在三棱锥中，，，点分别是的中点，底面．
（1）求证：平面；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）当为何值时，在平面内的射影恰好为的重心．

答案

（1）证明见解析。
（2）
（3）

解析

（1）证明：平面，．
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

设，则．
设，则．
为的中点，．
，．
，平面．
（2），即，，
可求得平面的法向量．
．
设与平面所成的角为，
则．
与平面所成的角的正弦值为．
（3）的重心，，平面，．又，．．
，即．反之，当时，三棱锥为正三棱锥．
在平面内的射影为的重心．