（本小题共14分）正方体的棱长为，是与的交点，是上一点，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

题型：不详难度：来源：

（本小题共14分）
正方体的棱长为，是与的交点，是上一点，且．（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

答案

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

解析

（Ⅰ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则，，，，
∴，，．
，

又与交于点
，
∴平面．------------4分
（Ⅱ）设与所成的角为．
，，．
∴，
．
∴．
所求异面直线与所成角的余弦值为．---------------9分
（Ⅲ）设平面与直线所成的角为．
设平面的法向量为．
，，，，．

令，则
．
．
所求平面与直线所成角的正弦值为．--------------------14分