已知抛物线L；y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是，，与y轴的交点是M（0，c）我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为

题型：河南省同步题难度：来源：

已知抛物线L；y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是，，与y轴的交点是M（0，c）我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线。
（1）请直接写出抛物线y=2x²-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式：
伴随抛物线的关系式_________________；
伴随直线的关系式___________________；
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x²-3和y=-x-3， 则这条抛物线的关系是___________；
（3）求抛物线L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0） 的伴随抛物线和伴随直线的关系式；
（4）若抛物线L与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点x₂>x₁>0，它的伴随抛物线与x 轴交于C，D两点，且AB=CD，请求出a、b、c应满足的条件。

答案

解：（1）y=-2x²+1，y=-2x+1；
（2）y=x²-2x-3
（3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c），
∴设它的解析式为y=m（x-0）²+c（m≠0）。
∴设抛物线过P，
∴=
解得m=-a，
∴伴随抛物线关系式为y=-ax²+c。
设伴随直线关系式为y=kx+c（k≠0）
∵P在此直线上，
∴，
∴k=。
∴伴随直线关系式为y=x+c
（4）∵抛物线L与x轴有两交点，
∴△₁=b²-4ac>0，
∴b²<4ac。
∵x₂>x₁>0，
∴x₁+ x₂= ->0，x₁x₂=>0，
∴ab<0，ac>0。
对于伴随抛物线y=-ax²+c，有△₂=0²-（-4ac）=4ac>0。由-ax²+c=0，得x=。
∴，，
∴CD=2。
又AB=x₂-x₁==。
由AB=CD，得=2，
整理得b²=8ac，综合b²>4ac，ab<0，ac>0，b²=8ac，
得a，b，c满足的条件为b²=8ac且ab<0，（或b²=8ac且bc<0）。