解:∵ 抛物线与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),
∴ x1、x2是关于x的方程的解
解方程,得x=1或x=m
(1)∵ A在B 的左侧,m>1,
∴ ,
∴ AB=m-1
抛物线与y轴交于C(0,m)点
∴ OC=m
△ABC的面积S=
解得(不合题意,舍去)
∴ 抛物线解析式为
(2)∵ 点D在(1)中的抛物线上,
∴ 设D(t,)()
∴ F(t,0),DF=
又抛物线对称轴是直线,DE与抛物线对称轴交点记为R(如图1),
∴ DR=,DE=。
设矩形DEGF的周长为L,则 L=2(DF+DE)
∴ L =2
∵ ,
∴ 当且仅当时,L有最大值。
当时,
∴ 矩形周长的最大值为
(3)∵ A在B 的左侧,m<0,
∴ ,
∴ AB=1-m
如图2,作NH⊥AB于H,连结QN
在Rt△AHN中,
设AH=4k(k>0), 则AN=5k,NH=3k
∴ AP=,PH=AH-AP==,
PN=
∵ 菱形ABMN是轴对称图形,
∴ QN=QB
∴ PQ+QN=PQ+QB=6
∵ PQ+QN≥PN(当且仅当P、Q、N三点共线时,等号成立)
∴ ,
解得 k≤
∵
∴ 当菱形面积取得最大值48时,k=
此时AB=5k=1-m=
解得 m=1-
∴ A点的坐标为(1-,0)。
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