已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B(0,1),且b=-4ac。 (1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上是否存在一点C,使以BC为

已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B(0,1),且b=-4ac。 (1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上是否存在一点C,使以BC为

题型:专项题难度:来源:
已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B(0,1),且b=-4ac。
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在一点C,使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A?若不存在说明理由;若存在,求出点C的坐标,并求出此时圆的圆心点P的坐标;
(3)根据(2)小题的结论,你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?
答案
解:(1)由抛物线过B(0,1) 得c=1,
又b=-4ac,顶点A(-,0),
∴-==2c=2,∴A(2,0),
将A点坐标代入抛物线解析式,得4a+2b+1=0,

解得:a=,b=-1,
所以,抛物线的解析式为y=x2-x+1。(2)假设符合题意的点C存在,其坐标为C(x,y),             
作CD⊥x轴于D ,连接AB、AC,
∵A在以BC为直径的圆上,
∴∠BAC=90°,
∴△AOB∽△CDA,
∴OB·CD=OA·AD,
即1·y=2(x-2),
∴y=2x-4,

解得:x1=10,x2=2,
∴符合题意的点C存在,且坐标为(10,16)或(2,0),
∵P为圆心,∴P为BC的中点,
当点C坐标为 (10,16)时,取OD中点P1,连结PP1, 
则PP1为梯形OBCD中位线,
∴PP1=(OB+CD)=
∵D (10,0),∴P1 (5,0),∴P (5,);
当点C坐标为 (2,0)时, 取OA中点P2,连结PP2
则PP2为△OAB的中位线,
∴PP2=OB=
∵A(2,0),∴P2(1,0),∴P(1,),
故点P的坐标为(5,)或(1,)。 (3)设B、P、C三点的坐标为B(x1,y1),P(x2,y2),C(x3,y3),
由(2)可知:
举一反三
如图,等腰直角三角形纸片ABC中,AC=BC=4,∠ACB=90°,直角边AC在x轴上,B点在第二象限,A(1,0),AB交y轴于E,将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合,得到折痕EF(F在x轴上),再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE,然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移,至B点到达A点停止。设平移时间为t(s),移动速度为每秒1个单位长度,平移中四边形BCFE与△AEF重叠的面积为S。
(1)求折痕EF的长;
(2)是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线的顶点?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由;
(3)直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围。
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如图,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线y=kx-1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值;
(3)如图2,过点E(1,-1)作EF⊥x轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转 180°后得△MNQ(点M,N,Q分别与点 A,E,F对应),使点M,N在抛物线上,求点M,N的坐标。
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如图,六边形ABCDEF内接于半径为r(r为常数)的⊙O,其中AD为直径,且AB=CD=DE=FA。
(1)当∠BAD=75°时,求的长;
(2)求证:BC∥AD∥FE;
(3)设AB=x,求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式,并指出x为何值时,L取得最大值。
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如图所示,在平面直角坐标系中.二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P,与x轴交点为 A、B,与y轴交点为C.连结BP并延长交y轴于点D。
(1)写出点P的坐标;
(2)连结AP,如果△APB为等腰直角三角形,求a的值及点C、D的坐标;
(3)在(2)的条件下,连结BC、AC、AD,点E(0,b)在线段CD(端点C、D除外)上,将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°,得到一个新三角形。设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S,根据不同情况,分别用含b的代数式表示S。选择其中一种情况给出解答过程,其它情况直接写出结果;判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值。
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如图,现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ,Ⅱ,它们两直角边的长分别为1和2。将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB,△COD处,直角边OB,OD在x轴上.一直尺从上方紧靠两纸板放置,让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动.当纸板Ⅰ移动至△PEF处时,设PE,PF与OC分别交于点M,N,与x轴分别交于点G,H。
(1)求直线AC所对应的函数关系式;
(2)当点P是线段AC(端点除外)上的动点时,试探究:
①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等?请说明理由;
②两块纸板重叠部分(图中的阴影部分)的面积S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标;若不存在,请说明理由。
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