如图,现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ,Ⅱ,它们两直角边的长分别为1和2。将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB,△COD处,直角边OB,OD在x轴上.一直尺

如图,现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ,Ⅱ,它们两直角边的长分别为1和2。将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB,△COD处,直角边OB,OD在x轴上.一直尺

题型:专项题难度:来源:
如图,现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ,Ⅱ,它们两直角边的长分别为1和2。将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB,△COD处,直角边OB,OD在x轴上.一直尺从上方紧靠两纸板放置,让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动.当纸板Ⅰ移动至△PEF处时,设PE,PF与OC分别交于点M,N,与x轴分别交于点G,H。
(1)求直线AC所对应的函数关系式;
(2)当点P是线段AC(端点除外)上的动点时,试探究:
①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等?请说明理由;
②两块纸板重叠部分(图中的阴影部分)的面积S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标;若不存在,请说明理由。
答案

解:(1)由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2,
知A,C两点的坐标分别为(1,2),(2,1),
设直线AC所对应的函数关系式为y=kx+b,
,解得:
所以,直线AC所对应的函数关系式为y=-x+3。

(2)①点M到x轴距离h与线段BH的长总相等,
因为点C的坐标为(2,1),
所以,直线OC所对应的函数关系式为
又因为点P在直线AC上,所以可设点P的坐标为(a,3-a),
过点M作x轴的垂线,设垂足为点K,则有MK=h,
因为点M在直线OC上,所以有M(2h,h),
因为纸板为平行移动,故有EF∥OB,即EF∥GH,
又EF⊥PF,所以PH⊥GH。

从而有
化简,得

所以

所以,化简,得

从而总有
②由①知,点M的坐标为,点N的坐标为

   
   
所以,当时,S有最大值,最大值为
S取最大值时点P的坐标为
举一反三
如图,抛物线经过点P,且与抛物线相交于A,B两点。
(1)求a值;
(2)设与x轴分别交于M,N两点(点M在点N的左边),与x轴分别交于E,F两点(点E在点F的左边),观察M,N,E,F四点的坐标,写出一条正确的结论,并通过计算说明;
(3)设A,B两点的横坐标分别记为XA,XB,若在x轴上有一动点Q(x,0),且XA≤x≤XB,过Q作一条垂直于x轴的直线,与两条抛物线分别交于C,D两点,试问当x为何值时,线段CD有最大值?其最大值为多少?
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如图(1),已知在△ABC中,AB=AC=10,AD为底边BC上的高,且AD=6。将△ACD沿箭头所示的方向平移,得到△A′CD′。如图(2),A′D′交AB于E,A′C分别交AB、AD于G、F。以D′D为直径作⊙O,设BD′的长为x,⊙O的面积为y。
(1)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)连结EF,求EF与⊙O相切时x的值;
(3)设四边形ED′DF的面积为S,试求S关于x的函数表达式,并求x为何值时,S的值最大,最大值是多少?
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在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN。令AM=x.
1)用含x的代数式表示△MNP的面积S     
2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?       
3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
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如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3)。

(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点M是抛物线上一点,以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标。
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如图,抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于M点,抛物线向右平移2个单位后得到抛物线交x轴于C、D两点。
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)抛物线在x轴上方的部分是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P是抛物线上的一个动点(P不与点A、B重合),那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上,请说明理由。
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