在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AM

题型：专项题难度：来源：

在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN。令AM=x．
（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；     
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？       
（3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

答案

解：（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C，
∴△AMN∽△ABC，
∴，即，
∴AN=x，
∴（0<x<4）。（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO、OD，
则AO=OD=MN，
在Rt△ABC中，，
由（1）知△AMN∽△ABC，
∴，即，
∴，
∴，
过M点作MQ⊥BC 于Q，则，
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA，
∴，
∴，，
∴x=，
∴当x=时，⊙O与直线BC相切。（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，如图3，连结AP，
则O点为AP的中点，
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APC，
∴△AMO∽△ABP，
∴，AM=MB=2，
故以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，；
∴当x=2时，；
②当2＜x＜4时，如图4，设PM，PN分别交BC于E，F，
∵四边形AMPN是矩形，
∴PN∥AM，PN=AM=x，
又∵MN∥BC，
∴四边形MBFN是平行四边形，
∴FN=BM=4-x，
∴PF=x-（4-x）=2x-4，
又△PEF∽△ACB，
∴，
∴，
，
当2＜x＜4时，，
∴当时，满足2＜x＜4，，
综上所述，当时，y值最大，最大值是2。