y=2sin2x+8cos2x的最小值为______.

y=2sin2x+8cos2x的最小值为______.

题型:不详难度:来源:
y=
2
sin2x
+
8
cos2x
的最小值为______.
答案
y=
2(sin2x+cos2x)
sin2x
+
8(sin2x+cos2x)
cos2x
=2(1+
1
tan2x
)+8(1+tan2x)
=10+2(
1
tan2x
+4tan2x)
≥10+2×2×


1
tan2x
×4tan2x
=18.当且仅当tan2x=
1
2
时,取等号.
因此y取得最小值18.
故答案为18.
举一反三
如图所示是某水产养殖场的养殖大网箱的平面图,四周的实线为网衣,为避免混养,用筛网(图中虚线)把大网箱隔成大小一样的小网箱.
(1)若大网箱的面积为108平方米,每个小网箱的长x,宽y设计为多少米时,才能使围成的网箱中筛网总长度最小;
(2)若大网箱的面积为160平方米,网衣的造价为112元/米,筛网的造价为96元/米,且大网箱的长与宽都不超过15米,则小网箱的长、宽为多少米量,可使总造价最低?

魔方格
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已知lga+lgb=0,则
b
1+a2
+
a
1+b2
的最小值是______.
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已知a,b,x,y∈R,证明:(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2,并利用上述结论求(m2+4n2)(
1
m2
+
4
n2
)的最小值(其中m,n∈R且m≠0,n≠0).
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设b>a>0,且P=


2
1
a2
+
1
b2
,Q=
2
1
a
+
1
b
,M=


ab
,N=
a+b
2
,R=


a2+b2
2
,则它们的大小关系是(  )
A.P<Q<M<N<RB.Q<P<M<N<RC.P<M<N<Q<RD.P<Q<M<R<N
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已知x>0,函数y=
4
x
+x
的最小值是(  )
A.5B.4C.8D.6
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