已知a，b，x，y∈R，证明：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2，并利用上述结论求（m2+4n2）（1m2+4n2）的最小值（其中m，n∈R且m≠0

题型：不详难度：来源：

已知a，b，x，y∈R，证明：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²，并利用上述结论求（m²+4n²）（

1

m2

+

4

n2

）的最小值（其中m，n∈R且m≠0，n≠0）．

答案

证明：∵b²x²+a²y²≥2abxy，
∴a²x²+b²y²+b²x²+a²y²≥a²x²+b²y²+2abxy，
即（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²成立．
由不等式（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²成立，
知（m²+4n²）（

1

m2

+

4

n2

）≥(m×

1

m

+2n×

2

n

)2=25
当且仅当m²=n²时，等号成立，
即（m²+4n²）（

1

m2

+

4

n2

）的最小值为25．