如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,四边形OBHC为矩形,CH的延长线交抛物线于点D(5,2),连结BC、AD(1)求C点的坐标及抛物线的解析式;

如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,四边形OBHC为矩形,CH的延长线交抛物线于点D(5,2),连结BC、AD(1)求C点的坐标及抛物线的解析式;

题型:福建省中考真题难度:来源:
如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,四边形OBHC为矩形,CH的延长线交抛物线于点D(5,2),连结BC、AD
(1)求C点的坐标及抛物线的解析式;
(2)将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后,再沿x轴对折得到 △BEF(点C与点E对应),判断点E是否落在抛物线上,并说明理由;
(3)设过点E的直线交AB边于点P,交CD边于点Q,问是否存在点P,使直线PQ分梯形ABCD的面积为
1∶3两部分?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由。
答案

解:(1)∵四边形OBHC为矩形,∴CD∥AB, 又D(5,2),
        ∴C(0,2),OC=2 . 
        ∴     解得
        ∴抛物线的解析式为: 
 (2)点E落在抛物线上. 理由如下:
      由y = 0,得=0
     解得x1=1,x2=4
     ∴A(4,0),B(1,0). 
     ∴OA=4,OB=1
   由矩形性质知:CH=OB=1,BH=OC=2,∠BHC=90°,
  由旋转、轴对称性质知:EF=1,BF=2,∠EFB=90°,
   ∴点E的坐标为(3,-1).
把x=3代入,y=得,y==-1
    ∴点E在抛物线上;
(3)存在点P(a,0),延长EF交CD于点G,易求OF=CG=3,PB=a-1.
              S梯形BCGF = 5,S梯形ADGF = 3,
           记S梯形BCQP = S1,S梯形ADQP = S2
下面分两种情形:
     ①当S1∶S2 =1∶3时,
     此时点P在点F(3,0)的左侧, 则PF = 3-a,
    由△EPF∽△EQG,
    得,则QG=9-3a,
    ∴CQ=3-(9-3a) =3a -6 由S1=2,
     得,解得 ;
     ②当S1∶S2=3∶1时,
    此时点P在点F(3,0)的右侧,
    则PF = a-3,由△EPF∽△EQG,
    得QG = 3a-9,∴CQ = 3 +(3 a-9)= 3 a-6,由S1= 6,
    得,解得 ;
综上所述:所求点P的坐标为( ,0)或( ,0)。

举一反三
如图,等边△ABC边长为4,E是边BC上动点,EH⊥AC于H,过E作EF∥AC,交线段AB于点F,在线段AC上取点P,使PE=EB。设
(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段(不再另外添加辅助线);
(2) Q是线段AC上的动点,当四边形EFPQ是平行四边形时,求 EFPQ的面积(用含x的代数式表示);
(3) 当(2)中 的EFPQ面积最大值时,以E为圆心,r为半径作圆,根据⊙E与此时EFPQ四条边交点的总个数,求相应的r的取值范围。
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已知直线l:y=-x+m(m≠0)交x轴、y轴于A、B两点,点C、M分别在线段OA、AB上,且OC=2CA,AM=2MB,连接MC,将△ACM绕点M 旋转180°,得到△FEM,则点E在y轴上, 点F在直线l上;取线段EO中点N,将ACM沿MN所在直线翻折,得到△PMG,其中P与A为对称点.记:过点F的双曲线为C1,过点M且以B为顶点的抛物线为C2,过点P且以M 为顶点的抛物线为C3.
(1) 如图,当m=6时,①直接写出点M、F的坐标, ②求C1、C2的函数解析式;
(2)当m发生变化时, ①在C1的每一支上,y随x的增大如何变化?请说明理由。
                                     ②若C2、C3中的y都随着x的增大而减小,写出x的取值范围。
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二次函数 的图象如图所示,点A0位于坐标原点, 点A1,A2,A3,…,A2008 在y轴的正半轴上,点B1,B2,B3,…,B2008 在二次函数 位于第一象限的图象上, 若△,△,△,…,△ 都为等边三角形,则△的边长= (        )。
题型:甘肃省中考真题难度:| 查看答案
请阅读下列材料:当抛物线的解析式中含有字母系数时,随着系数中字母取值的不同,抛物线顶点的坐标也将发生变化.例如:由y=x2-2ax+a2+a-3=(x-a)2+a-3,得抛物线y=x2-2ax+a2+a-3的顶点坐标为
(a,a-3)。即:无论a取任何实数,该抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x都满足关系式y=x-3。根据上述材料,可以确定抛物线y=x2+4bx+b的顶点的纵坐标y与横坐标x都满足的关系式为(          )。
题型:广西自治区中考真题难度:| 查看答案
如图,已知抛物线C1的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边),点B的横坐标是1.
(1)求P点坐标及a的值;
(2)如图(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3
C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的解析式;
(3)如图(2),点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标.
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