问题情境:将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放,其中∠ACB=90°,CA=CB,∠FDE=90°,O是AB的中点,点D与点O重合
题型:不详难度:来源:
问题情境:将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放,其中∠ACB=90°,CA=CB,∠FDE=90°,O是AB的中点,点D与点O重合,DF⊥AC于点M,DE⊥BC于点N,试判断线段OM与ON的数量关系,并说明理由. 探究展示:小宇同学展示出如下正确的解法: 解:OM=ON,证明如下: 连接CO,则CO是AB边上中线, ∵CA=CB,∴CO是∠ACB的角平分线.(依据1) ∵OM⊥AC,ON⊥BC,∴OM=ON.(依据2) 反思交流: (1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指: 依据1: ; 依据2: . (2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程. 拓展延伸: (3)将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置,使点D落在BA的延长线上,FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M,BC的延长线与DE垂直相交于点N,连接OM、ON,试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系,并写出证明过程. |
答案
(1)依据1为:等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合),依据2为:角平分线上的点到角的两边距离相等; (2)见解析; (3)OM=ON,OM⊥ON.理由见解析. |
解析
试题分析:(1)根据等腰三角形的性质和角平分线性质得出即可; (2)证△OMA≌△ONB(AAS),即可得出答案; (3)求出矩形DMCN,得出DM=CN,△MOC≌△NOB(SAS),推出OM=ON,∠MOC=∠NOB,得出∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON,求出∠MON=∠BOC=90°,即可得出答案. (1)解:依据1为:等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合),依据2为:角平分线上的点到角的两边距离相等. (2)证明:∵CA=CB, ∴∠A=∠B, ∵O是AB的中点, ∴OA=OB. ∵DF⊥AC,DE⊥BC, ∴∠AMO=∠BNO=90°, ∵在△OMA和△ONB中 , ∴△OMA≌△ONB(AAS), ∴OM=ON. (3)解:OM=ON,OM⊥ON.理由如下: 如图2,连接OC, ∵∠ACB=∠DNB,∠B=∠B, ∴△BCA∽△BND, ∴, ∵AC=BC, ∴DN=NB. ∵∠ACB=90°, ∴∠NCM=90°=∠DNC, ∴MC∥DN, 又∵DF⊥AC, ∴∠DMC=90°, 即∠DMC=∠MCN=∠DNC=90°, ∴四边形DMCN是矩形, ∴DN=MC, ∵∠B=45°,∠DNB=90°, ∴∠3=∠B=45°, ∴DN=NB, ∴MC=NB, ∵∠ACB=90°,O为AB中点,AC=BC, ∴∠1=∠2=45°=∠B,OC=OB(斜边中线等于斜边一半), 在△MOC和△NOB中 , ∴△MOC≌△NOB(SAS), ∴OM=ON,∠MOC=∠NOB, ∴∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON, 即∠MON=∠BOC=90°, ∴OM⊥ON.
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举一反三
如图, 直线AB∥CD,∠E=90°,∠A=25°,则∠C= .
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如图,△ABC的三个顶点分别在直线a、b上,且a∥b,若∠1=120°,∠2=80°,则∠3的度数是( )
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如图,以∠AOB的顶点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D.再分别以点C、D为圆心,大于CD的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点E,过点E作射线OE,连接CD.则下列说法错误的是
A.射线OE是∠AOB的平分线 B.△COD是等腰三角形 C.C、D两点关于OE所在直线对称 D.O、E两点关于CD所在直线对称 |
如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画孤,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为( )。 A、7 B、14 C、17 D、20
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如图两平行线a、b被直线l所截,且∠1=60°,则∠2的度数为( )
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