如图，已知ABC的顶点B、C为定点，A为动点（不在直线BC上），B"是点B关于直线AC的对称点，C"是点C关于直线AB的对称点，连结BC"、CB"、BB"、CC

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图，已知ABC的顶点B、C为定点，A为动点（不在直线BC上），B"是点B关于直线AC的对称点，C"是点C关于直线AB的对称点，连结BC"、CB"、BB"、CC"。
（1）猜想线段BC"与CB"的数量关系，并证明你的结论；
（2）当点A运动到怎样的位置时，四边形BCB"C"为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述；（不用证明）
（3）当点A在线段BC的垂直平分线（BC的中点及到BC的距离为的点除外）上运动时，判断以点B、C、B"、C"为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图。（不用证明）

答案

解：（1）结论：BC"=CB"；
证明：∵C"是C关于AB的对称点，
∴AB垂直平分线段CC"，
即直线AB是线段CC"的中垂线，
∴BC=BC"，
同理AC是线段BB"的中垂线，
∴BC=CB"，
∴BC"=CB"；
（2）如图（2）当点A在以BC为直径的圆（除B、C两点）上时，
四边形BCB"C"为菱形，因此这样的位置有无数多个；
（3）当点A在线段BC的垂直平分线（BC的中点及到BC的距离为的两点除外）上运动时，以点B、C、B"、C"为顶点的四边形的形状有可能是正方形或等腰梯形：
①如图①，当△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形时，四边形是正方形；
②如图②，当△ABC不是直角三角形时，四边形是梯形。

图（2）