在△ABC中，点D、E、F顺次在边AB、BC、CA上，设AD=p•AB，BE=q•BC，CF=r•CA，其中p、q、r是正数，且使p+q+r=23，p2+q2+

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在△ABC中，点D、E、F顺次在边AB、BC、CA上，设AD=p•AB，BE=q•BC，CF=r•CA，其中p、q、r是正数，且使p+q+r=

，p2+q2+r2=

，则S_△DEF：S_△ABC=______．

答案

如图：
∵AD=p•AB，BE=q•BC，CF=r•CA，
∴S_△ADF=（1-r）•p•S_△ABC，S_△BDE=（1-q）•r•S_△ABC，S_△EFC=（1-p）•q•S_△ABC，
∴S_△DEF=S_△ABC-S_△ADF-S_△BDE-S_△EFC=[1-（1-r）•p-（1-q）•r-（1-p）•q]•S_△ABC=[1-（p+q+r）+（pr+qy+pq）]•S_△ABC，
∵（p+q+r）²=（p²+q²+r²）+2（pr+qr+pq），p+q+r=

，p²+q²+r²=

，
∴pr+qr+pq=

[（p+q+r）²-（p²+q²+r²）]=

，
∴S_△DEF=（1-

）•S_△ABC=

S_△ABC，
∴S_△DEF：S_△ABC=16：45．
故答案为：16：45．

举一反三

如图，是一个食品包装盒的表面展开图．
（1）请写出这个包装盒的多面体形状的名称；
（2）请根据图中所标示的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积．（侧面积与两个底面积之和）

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如图，长方体中J为棱EF上一点，三角形EHJ与三角形JFB的面积都是50平方厘米，四边形BCGF的周长为24厘米，长方体的体积是______立方厘米．

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将一个长为a，宽为b的矩形分为六个相同的小矩形，然后在矩形中画出形如字母M的图形，记字母M的图形面积为S，则S=______．

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已知实数a，b，c满足关系式|a-2|+（b-3）²=0，（c-4）²≤0．
（1）求a，b，c的值，并在平面直角坐标系中，描出点A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的式子表示三角形POA的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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阅读下面资料：
小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，记其面积为S₁，求S₁的值．
小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A₁C、B₁A、C₁B，因为A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以S△A1BC=S△B1CA=S△C1AB=2S△ABC=2a，由此继续推理，从而解决了这个问题．

（1）直接写出S₁=______（用含字母a的式子表示）．
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积．
（3）如图4，若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求S_△APE与S_△BPF的比值．

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