阅读下面资料:小明遇到这样一个问题:如图1,对面积为a的△ABC逐次进行以下操作:分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC

阅读下面资料:小明遇到这样一个问题:如图1,对面积为a的△ABC逐次进行以下操作:分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC

题型:不详难度:来源:
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小明遇到这样一个问题:如图1,对面积为a的△ABC逐次进行以下操作:分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1、B1、C1,得到△A1B1C1,记其面积为S1,求S1的值.
小明是这样思考和解决这个问题的:如图2,连接A1C、B1A、C1B,因为A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,根据等高两三角形的面积比等于底之比,所以SA1BC=SB1CA=SC1AB=2S△ABC=2a,由此继续推理,从而解决了这个问题.

(1)直接写出S1=______(用含字母a的式子表示).
请参考小明同学思考问题的方法,解决下列问题:
(2)如图3,P为△ABC内一点,连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F,则把△ABC分成六个小三角形,其中四个小三角形面积已在图上标明,求△ABC的面积.
(3)如图4,若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点,求S△APE与S△BPF的比值.
答案
(1)S1=19a;

(2)过点C作CG⊥BE于点G,

设S△BPF=x,S△APE=y,
S△BPC=
1
2
BP•CG=70
S△PCE=
1
2
PE•CG=35

S△BPC
S△PCE
=
1
2
BP•CG
1
2
PE•CG
=
70
35
=2

BP
EP
=2
,即BP=2EP.
同理,
S△APB
S△APE
=
BP
PE

∴S△APB=2S△APF
∴x+84=2y.①
S△APB
S△BPD
=
AP
PD
=
x+84
40
S△APC
S△PCD
=
AP
PD
=
y+35
30

x+84
40
=
y+35
30
.②
由①②,得





x=56
y=70

∴S△ABC=315.

(3)设S△BPF=m,S△APE=n,如图所示.

依题意,得S△APF=S△APC=m,S△BPC=S△BPF=m.
∴S△PCE=m-n.
S△APB
S△APE
=
S△BPC
S△PCE
=
BP
PE

2m
n
=
m
m-n

∴2m(m-n)=mn,
∵m≠0,
∴2m-2n=n.
n
m
=
2
3

S△APE
S△BPF
=
2
3
举一反三
如图,在四边形ABCD中,已知∠BAD+∠ADC=270°,E、F分别是AD、BC的中点,EF=4,阴影部分分别是以AB、CD为直径的半圆,则这两个半圆面积之和是(  )
A.4πB.8πC.16πD.32π

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如图所示,在平面直角坐标系中,求三角形ABO的面积.
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根据给出已知点的坐标求四边形ABCD的面积.
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如图,直线ab,点A、B位于直线a上,点C、D位于直线b上,且AB:CD=1:2,若△ABC的面积为5,则△BCD的面积为______.
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如图所示.E,F分别是▱ABCD的边AD,AB上的点,且BE=DF,BE与DF交于O.求证:C点到BE的距离等于它到DF的距离.
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