如图1，在平面直角坐标系中，等腰 Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x- 4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线也经过A点。 （1）求

题型：江苏省期末题难度：来源：

如图1，在平面直角坐标系中，等腰 Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x- 4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线也经过A点。

（1）求点A坐标；
（2）求k的值；
（3）若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形。若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。
（4）若点P为x负半轴上一动点，在点A的左侧的双曲线上是否存在一点N，使得△PAN是以点A为直角顶点的等腰直角三角形。若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）作AD⊥x轴于D
∵△AOB为等腰直角三角形
∴OD=AD=BD
设A（a，a），
则a=3a-4
a=2
∴点A（2，2）。（2）又点A在上，
∴k=4，
反比列函数为。（3）存在
设M（m，n）
∵∠PAM=∠OAB=90°
∴∠OAP=∠BAM
∵OA=OB，AP=AM
∴△OAP≌△BAM
∴∠ABM=∠AOP=45°
∴∠OBM=90°
即MB⊥x轴
∵OB=4 且M在上
∴M（4，1）。（4）不存在
由（3）中所证易知： 若三角形PAN为等腰直角三角形
则：△PAB≌△NAO
∴∠NOA=∠PBA=45°
∴∠NOB=90°
则点N在y轴上，
∴点N不在双曲线上
∴点N不存在。