已知等边三角形ABC，在AB上取一点D，在AC 上取一点E，使AD=AE，作等边三角形PCD、等边三角形QAE和等边三角形RAB，如图所示。求证：P，Q，R是等

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已知等边三角形ABC，在AB上取一点D，在AC 上取一点E，使AD=AE，作等边三角形PCD、等边三角形QAE和等边三角形RAB，如图所示。求证：P，Q，R是等边三角形的三个顶点。

答案

证明：如图：连接BP，在△ADC和△CPB中，
因为AC=BC，DC=PC，∠ACD=∠BCP，
所以△ADC≌△BPC，
所以AD=BP，∠DAC=∠PBC=60°，
因为∠RAB+∠BAC+∠QAE=60°+60°+60°=180°，
所以R，A，Q三点共线，
又因为∠RBA+∠ABC+∠CBP=60°+60°+60°=180°，
所以R，B，P三点共线，而AQ=AE=AD=BP，
所以RQ=RA+AQ=RB+BP=RP，
因为∠R=60°，
所以P，Q，R是等边三角形的三个顶点。